रैखिक समीकरण निकाय हल करने वाला (2×2 और 3×3)
अपने मान दर्ज करें। टाइप करते ही उत्तर और पूरा हल अपडेट हो जाता है।
परिणाम
दो या तीन रैखिक समीकरणों का निकाय हल करें। समीकरण वैसे ही लिखें जैसे आप लिखते हैं, जैसे 2x + y − z = 8, या संवर्धित आव्यूह दर्ज करें। कैलकुलेटर गॉस–जॉर्डन निराकरण का हर पंक्ति संक्रिया या क्रैमर नियम के सारणिक दिखाता है, यथार्थ भिन्नों में काम करता है, और बिना हल या अनंत हलों वाले निकायों को पहचानता है, जिन्हें वह प्राचल के साथ लिखता है।
चरण-दर-चरण हल
निकाय
संवर्धित आव्यूह
स्तंभ 1 (x): पंक्ति में पिवट 1
स्तंभ 2 (y): पंक्ति में पिवट 2
स्तंभ 3 (z): पंक्ति में पिवट 3
हल पढ़ें
मूल समीकरणों में जाँचें
मुख्य सूत्र
- 2×2 सारणिक
- det = ad − bc
- 2×2 व्युत्क्रम
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- क्रैमर का नियम
- xi = det(Ai)/det(A)
निराकरण से रैखिक समीकरण निकाय कैसे हल करें
- निकाय को संवर्धित आव्यूह के रूप में लिखें: प्रति समीकरण एक पंक्ति, x, y और z के गुणांक, और दायाँ पक्ष पट्टी के बाद।
- पहले स्तंभ में एक पिवट चुनें (अशून्य प्रविष्टि, अधिमानतः 1) और आवश्यकता हो तो उसे पहली पंक्ति में बदल दें।
- पिवट पंक्ति को पिवट से भाग दें, फिर उसके गुणज अन्य पंक्तियों से घटाएँ ताकि स्तंभ के शेष अंश शून्य हो जाएँ।
- अगले स्तंभ और अगली पंक्ति के लिए तब तक दोहराएँ जब तक गुणांक भाग समानीत पंक्ति सोपानक रूप में न आ जाए।
- हल पढ़ें। c ≠ 0 के साथ पंक्ति 0 = c का अर्थ है कि कोई हल नहीं है; पिवट-रहित स्तंभ का अर्थ है मुक्त चर और अनंत हल।
- हल को मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करके जाँचें।
प्रश्न और उत्तर
क्रैमर नियम का उपयोग कब करना चाहिए?
अशून्य सारणिक वाले छोटे निकायों के लिए, विशेषकर 2×2। प्रत्येक अज्ञात सारणिकों का अनुपात है: x = Dx/D। बड़े निकायों के लिए, या जब D = 0 हो, निराकरण तेज़ है और यह भी बताता है कि कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
मुझे कैसे पता चले कि निकाय का कोई हल नहीं है?
जब निराकरण से ऐसी पंक्ति बने जिसके सभी गुणांक शून्य हों पर दायाँ पक्ष अशून्य हो, जैसे 0 = 3। ज्यामितीय रूप से रेखाओं या समतलों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता, जैसे दो समांतर रेखाएँ।
अनंत हलों का क्या अर्थ है?
एक समीकरण अन्य समीकरणों का संयोजन है, इसलिए स्वतंत्र समीकरण अज्ञातों से कम हैं। हल एक रेखा या समतल बनाते हैं, जिसे प्राचल t के साथ लिखा जाता है: उदाहरण x = 2 − t, y = 1 + t, z = t।
समीकरण कैसे दर्ज करूँ?
समीकरणों को अर्धविराम से अलग करें और प्रत्येक चर से पहले गुणांक लिखें: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0। 1/2x जैसी भिन्नें और दशमलव अनुमत हैं, और चर दोनों पक्षों में आ सकता है।
कोटि (रैंक) क्या है?
निराकरण के बाद पिवटों की संख्या, जो स्वतंत्र समीकरणों की संख्या है। वर्ग निकाय का अद्वितीय हल ठीक तब होता है जब कोटि अज्ञातों की संख्या के बराबर हो, यानी जब सारणिक अशून्य हो।
स्वयं अभ्यास करें
आव्यूह और सारणिक का अभ्यास करें
कैलकुलेटर उत्तर देता है। परीक्षा में आपको विधि चाहिए: नए प्रश्नों, संकेतों और हलों के साथ उसका अभ्यास करें।