एक संकेत f(t) का लाप्लास रूपांतर F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)) है। अंतिम मान प्रमेय से वह मान f(∞) ज्ञात कीजिए जिस पर f(t) स्थिर होता है।
ज्ञात करें: f(∞)
संकेत दिखाएँ
- अंतिम मान प्रमेय: s → 0 के लिए f(∞) = lim s·F(s)।
- पहले जाँचें कि s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हैं, ताकि f(t) वास्तव में स्थिर हो।
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
जाँचें कि प्रमेय लागू होता है
प्रमेय केवल तभी लागू होता है जब f(t) स्थिर हो; काल्पनिक अक्ष पर या दाएँ अर्ध-तल में कोई ध्रुव गलत उत्तर देगा।