स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न

आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: तंत्र का प्रकार और त्रुटि स्थिरांक, स्थायी-अवस्था त्रुटियाँ और लब्धि, P, PI और PD अभिकल्प।

मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

एक एकांक पुनर्निवेश लूप का विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)) है। वेग त्रुटि स्थिरांक Kv ज्ञात कीजिए।

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।

आप क्या अभ्यास करेंगे

  1. आसानतंत्र का प्रकार और त्रुटि स्थिरांक
  2. मध्यमस्थायी-अवस्था त्रुटियाँ और लब्धि
  3. कठिनP, PI और PD अभिकल्प

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण के प्रश्न कैसे हल करें

  1. विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
  2. निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
  4. अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

सामान्य गलतियाँ

  • सोपान के लिए A/(1 + Kp) की जगह A/Kp का उपयोग करना।
  • गुणांक मिलाते समय संयंत्र लब्धि भूल जाना: लूप लब्धि K गुणा संयंत्र लब्धि है।
  • तंत्र का प्रकार गिनते समय नियंत्रक के समाकलक की उपेक्षा करना।
  • यह उम्मीद करना कि अकेली आनुपातिक लब्धि प्रकार-0 लूप की सोपान त्रुटि हटा देगी।

मुख्य सूत्र

तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण शुरू से सीखें

इससे पहले: ब्लॉक आरेख, सोपान अनुक्रिया

1आदेश का अनुसरण

पुनर्निवेश लूप आदेश r की तुलना निर्गत y से करता है और त्रुटि e = r − y पर कार्य करता है। आदर्श रूप में निर्गत ठीक आदेश पर पहुँच जाता है।

अक्सर ऐसा नहीं होता। क्षणिक अवस्था समाप्त होने के बाद एक अंतर बना रह सकता है: स्थायी-अवस्था त्रुटि ess।

tyress​

ess कितनी बड़ी है, यह निवेश के प्रकार (सोपान, रैंप या परवलय) और लूप में कितने समाकलक हैं, इस पर निर्भर करता है।

स्व-जाँच एक एकांक पुनर्निवेश लूप को r = 1 मिलता है और उसका निर्गत y = 0.95 पर स्थिर होता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि क्या है?
  1. 0.05
  2. 0.95
  3. 1.95
  4. −0.05

उत्तर: 0.05. ess = r − y = 1 − 0.95 = 0.05। निर्गत स्वयं 0.95 है, और चिह्न धनात्मक है क्योंकि निर्गत आदेश से कम रहता है।

2तंत्र का प्रकार और त्रुटि स्थिरांक

तंत्र का प्रकार विवृत-लूप G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है, यानी समाकलकों की संख्या। G(s) = 10/(s(s + 5)) में एक है, इसलिए यह प्रकार-1 है।

तीन त्रुटि स्थिरांक बहुत कम आवृत्ति (s → 0) पर G(s) का सार देते हैं:

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

अंतिम मान प्रमेय से वे हर निवेश के लिए त्रुटि देते हैं:

स्टेप A: A/(1 + Kp) रैम्प A·t: A/Kv परवलय A·t²/2: A/Ka
  • प्रकार 0: सोपान त्रुटि परिमित, रैंप त्रुटि अनंत।
  • प्रकार 1: सोपान त्रुटि शून्य, रैंप त्रुटि परिमित।
  • प्रकार 2: सोपान और रैंप त्रुटि शून्य, परवलय त्रुटि परिमित।
स्व-जाँच G(s) = 10/(s(s + 5)) का वेग त्रुटि स्थिरांक Kv क्या है?
  1. 0.5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

उत्तर: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), जो s = 0 पर 10/5 = 2 है। मान 0.5 रैंप त्रुटि 1/Kv है, स्थिरांक नहीं।

3विधि चरण-दर-चरण

  1. विवृत-लूप लिखिए: नियंत्रक गुणा संयंत्र, C(s)·G(s)।
  2. तंत्र का प्रकार पाने के लिए इसके s = 0 पर ध्रुव गिनिए।
  3. निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक चुनिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
  4. सीमा का मान निकालिए: गुणनखंड s को काटिए, फिर जो बचे उसमें s = 0 रखिए।
  5. त्रुटि सूत्र लगाइए, या उसे उस लब्धि के लिए हल कीजिए जो आवश्यक त्रुटि दे।

अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζωns + ωn² से मिलाइए।

4एक हल किया गया उदाहरण

हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।

हल किया गया उदाहरण

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 4)) है। उसे रैंप r(t) = 2t का अनुसरण 0.1 की स्थायी-अवस्था त्रुटि के साथ करना है। K और उससे मिलने वाला अवमंदन अनुपात ज्ञात कीजिए।

1

तंत्र का प्रकार ज्ञात कीजिए

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) का s = 0 पर एक ध्रुव है, इसलिए लूप प्रकार-1 है: रैंप परिमित त्रुटि देता है।

2

वेग स्थिरांक

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

आवश्यक Kv

रैंप की ढाल A = 2 है, इसलिए ess = 2/Kv = 0.1।

Kv = 2/0.1 = 20
4

लब्धि

K = 4·Kv = 80
5

अवमंदन जाँचिए

अभिलाक्षणिक बहुपद s² + 4s + 80 है, इसलिए ωn = √80 = 8.94 rad/s और ζ = 4/(2·8.94) = 0.22।

त्रुटि की शर्त पूरी होती है, पर सोपान अनुक्रिया में लगभग 49 % अतिलंघन होता है। इसी समझौते के कारण नियंत्रक केवल एक लब्धि से अधिक होते हैं।

उत्तर

K = 80, जिससे ζ = 0.22 मिलता है।

5P, PI और PID नियंत्रक

PID नियंत्रक त्रुटि पर तीन क्रियाओं को मिलाता है:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • आनुपातिक (Kp): प्रकार-0 संयंत्र के लिए तेज़ लूप और छोटी त्रुटि, पर सोपान त्रुटि कभी शून्य नहीं होती।
  • समाकल (Ki/s): s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है, इसलिए प्रकार एक बढ़ जाता है और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है।
  • अवकल (Kd·s): अवमंदन जोड़ता है और अतिलंघन घटाता है।

लब्धियाँ चुनने के लिए गुणांक मिलाइए। G(s) = 2/(s + 3) पर PI नियंत्रक अभिलाक्षणिक बहुपद s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki देता है। ωn = 5 rad/s और ζ = 0.8 के लिए लक्ष्य s² + 8s + 25 है:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2.5, 2Ki = 25 → Ki = 12.5
स्व-जाँच प्रकार-0 लूप के नियंत्रक में एक समाकलक जोड़ा जाता है। एकांक सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि का क्या होता है?
  1. यह अनंत हो जाती है
  2. यह छोटी हो जाती है पर शून्य नहीं होती
  3. यह बड़ी हो जाती है
  4. यह शून्य हो जाती है

उत्तर: यह शून्य हो जाती है. समाकलक लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए Kp अनंत है और A/(1 + Kp) = 0। अकेली बड़ी आनुपातिक लब्धि केवल त्रुटि को छोटा करती।

6सामान्य गलतियाँ

  • सोपान के लिए A/(1 + Kp) की जगह A/Kp का उपयोग करना।
  • गुणांक मिलाते समय संयंत्र लब्धि भूल जाना: लूप लब्धि नियंत्रक लब्धि गुणा संयंत्र लब्धि है।
  • केवल संयंत्र के समाकलक गिनना और PI नियंत्रक वाले को छोड़ देना।
  • Kv का मान निकालते समय शून्य छोड़ देना: गुणनखंड (s + 3) का मान s = 0 पर 3 है।
स्व-जाँच आकार 5 का सोपान Kp = 9 वाले प्रकार-0 लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि क्या है?
  1. 0.1
  2. 0.556
  3. 0.5
  4. 4.5

उत्तर: 0.5. ess = 5/(1 + 9) = 0.5। केवल Kp से भाग देने पर 0.556 आता है, सोपान का आकार छोड़ देने पर 0.1, और 4.5 अंतिम निर्गत है।

7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं

  • आसान: तंत्र का प्रकार और त्रुटि स्थिरांक। आप किसी अंतरण फलन का प्रकार, Kp, Kv या Ka, सोपान त्रुटि, या P नियंत्रण वाले लूप का अंतिम निर्गत ज्ञात करते हैं।
  • मध्यम: स्थायी-अवस्था त्रुटियाँ और लब्धि। आप रैंप, परवलय या सोपान जमा रैंप की त्रुटि, या आवश्यक त्रुटि देने वाली लब्धि ज्ञात करते हैं।
  • कठिन: P, PI और PD अभिकल्प। आप अवमंदन अनुपात के लिए K चुनते हैं, किसी दिए K के लिए अतिलंघन, शिखर काल या स्थिरीकरण काल ज्ञात करते हैं, गुणांक मिलाकर PI या PD लब्धियाँ चुनते हैं, या PI नियंत्रक के साथ रैंप त्रुटि ज्ञात करते हैं।

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हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1आसान
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

एक एकांक पुनर्निवेश लूप का विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)) है। त्वरण त्रुटि स्थिरांक Ka ज्ञात कीजिए।

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

ज्ञात करें: Ka

संकेत दिखाएँ
  1. K_a = lim s²·G(s), जब s → 0।
  2. s² मूल-बिंदु के द्विक ध्रुव को काट देता है।
  3. Ka = 2·2/2.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

त्वरण स्थिरांक

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

उत्तर

Ka = 2
उदाहरण 2मध्यम
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/((s + 2)(s + 5)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो सोपान निवेश के लिए 2 % की स्थायी-अवस्था त्रुटि दे।

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

ज्ञात करें: K

संकेत दिखाएँ
  1. एकांक सोपान के लिए e_ss = 1/(1 + K_p)।
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0.02.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

आवश्यक त्रुटि स्थिरांक

1/(1 + Kp) = 0.02 → Kp = 49

लब्धि

K/10 = 49 → K = 490

उत्तर

K = 490

संवृत-लूप स्थायित्व भी जाँचिए: इस द्वितीय-कोटि लूप के लिए कोई भी K > 0 स्थायी है।

उदाहरण 3कठिन
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 8 संयंत्र G(s) = 5/(s(s + 2)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। ts ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय ts ज्ञात कीजिए।

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

ज्ञात करें: ts (s)

संकेत दिखाएँ
  1. अभिलाक्षणिक बहुपद s² + 2s + 40 है।
  2. ζωₙ, s के गुणांक का आधा है: 2/2 = 1।
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ और ζ

ωₙ = √40 = 6.325 rad/s
ζ = 2/(2·6.325) = 0.1581

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

उत्तर

ts = 4 s

यहाँ स्थिरीकरण काल K पर निर्भर नहीं करता: K बढ़ाने से अनुक्रिया केवल अधिक तेज़ी से दोलन करती है।

प्रश्न और उत्तर

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण क्या है?

पुनर्निवेश लूप आदेश r की तुलना निर्गत y से करता है और त्रुटि e = r − y पर कार्य करता है। आदर्श रूप में निर्गत ठीक आदेश पर पहुँच जाता है।

अक्सर ऐसा नहीं होता। क्षणिक अवस्था समाप्त होने के बाद एक अंतर बना रह सकता है: स्थायी-अवस्था त्रुटि ess।

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
  1. विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
  2. निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
  4. अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण में आम गलतियाँ क्या हैं?
  • सोपान के लिए A/(1 + Kp) की जगह A/Kp का उपयोग करना।
  • गुणांक मिलाते समय संयंत्र लब्धि भूल जाना: लूप लब्धि K गुणा संयंत्र लब्धि है।
  • तंत्र का प्रकार गिनते समय नियंत्रक के समाकलक की उपेक्षा करना।
  • यह उम्मीद करना कि अकेली आनुपातिक लब्धि प्रकार-0 लूप की सोपान त्रुटि हटा देगी।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण के अभ्यास में क्या शामिल है?
  • आसान: तंत्र का प्रकार और त्रुटि स्थिरांक
  • मध्यम: स्थायी-अवस्था त्रुटियाँ और लब्धि
  • कठिन: P, PI और PD अभिकल्प

हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।

अभ्यास कैसे काम करता है

  • हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
  • अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
  • आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।

इससे पहले और बाद के विषय

पहले सीखें

ब्लॉक आरेखसोपान अनुक्रिया

इस विषय वाले कोर्स

नियंत्रण अभियांत्रिकी 1नियंत्रण अभियांत्रिकी 2: फ़ीडबैक नियंत्रण अभिकल्पनमेकाट्रॉनिक प्रणालियाँFE Electrical and Computer परीक्षा अभ्यासFE Mechanical परीक्षा अभ्यास

इलेक्ट्रिकल में और विषय

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकअध्यारोपणथेवेनिन और नॉर्टननोडल विश्लेषणमेश विश्लेषणRC और RL क्षणिक अवस्थाएँAC प्रतिबाधा और फ़ेज़रAC शक्ति और शक्ति गुणकLC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थत्रि-फ़ेज़ शक्तिट्रांसफ़ॉर्मरDC मोटरेंऑप-एम्प परिपथडायोड और ट्रांज़िस्टरDC-DC कन्वर्टरडिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपव्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजडेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनलाप्लास रूपांतरब्लॉक आरेखसोपान अनुक्रियाबोडे आरेख और सीमाएँस्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथसंवलन और LTI तंत्र

प्रिंट करने योग्य वर्कशीट

उत्तरों सहित स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण वर्कशीट
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण का मुफ़्त अभ्यास करेंअभी स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण का अभ्यास करेंहर दिन 5 मुफ़्त प्रश्न। कार्ड की ज़रूरत नहीं।