संख्या पद्धतियाँ: चरण-दर-चरण हल सहित अभ्यास प्रश्न
आरेखों, संकेतों और पूर्ण हल के साथ मुफ़्त संख्या पद्धतियाँ अभ्यास प्रश्न। हर बार नए मान, तीन स्तरों पर: द्विआधारी और षोडशआधारी से दशमलव, दो का पूरक, बिट, परास और मेमोरी।
मुफ़्त अभ्यास प्रश्नआसान
बिट इस तरह सेट करें कि 8-बिट रजिस्टर में 0x99 हो। दशमलव में इस पैटर्न का मान N क्या है?
0x99
किसी बिट को 0 और 1 के बीच बदलने के लिए उस पर क्लिक करें। बॉक्स आपके पैटर्न को चिह्नरहित संख्या के रूप में दिखाता है, और आप उसे टाइप भी कर सकते हैं। सटीक उत्तर: एक पूर्ण संख्या, बिना पूर्णांकन के।
रोज़मर्रा के जीवन में आप दशमलव, आधार 10, में गिनते हैं। इसमें दस अंक, 0 से 9, होते हैं, और हर स्थान अपने दाईं ओर के स्थान से दस गुना मूल्य का होता है।
352 में 3 का मूल्य 300, 5 का मूल्य 50 और 2 का मूल्य 2 है। दाईं ओर से स्थानों के मूल्य 1, 10, 100 हैं।
352 = 3 · 100 + 5 · 10 + 2 · 1
कंप्यूटर हर चीज़ को चालू या बंद स्विचों के रूप में संग्रहीत करता है। इसलिए यह बाइनरी, आधार 2, में गिनता है, जिसमें केवल अंक 0 और 1 होते हैं।
एक बाइनरी अंक एक बिट है। 8 बिटों का समूह एक बाइट है।
नियम हर आधार में समान है: हर अंक का मूल्य उसका मान गुणा आधार की एक घात है।
स्व-जाँच दशमलव संख्या 4721 में 7 का मूल्य क्या है?
7000
700
70
7
उत्तर: 700. दाईं ओर से गिनने पर स्थानों के मूल्य 1, 10, 100 और 1000 हैं। 7 तीसरे स्थान पर है, इसलिए उसका मूल्य 7 · 100 = 700 है।
2बाइनरी और षोडशआधारी
बाइनरी में दाईं ओर से स्थानों के मूल्य 1, 2, 4, 8, 16 आदि हैं। हर स्थान अपने दाईं ओर के स्थान से दोगुने मूल्य का है।
8-बिट संख्या के लिए स्थानों के मूल्य 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 और 1 हैं।
बाइनरी संख्या पढ़ने के लिए हर उस बिट का स्थानीय मान जोड़ें जो 1 है। 0011 0010 के लिए यह 32 + 16 + 2 = 50 है।
बिटों की लंबी पंक्तियाँ पढ़ना कठिन है। प्रोग्रामर अक्सर इन्हें इसके बजाय षोडशआधारी (hex), आधार 16, में लिखते हैं।
hex को 16 अंक चाहिए। यह 0 से 9 और फिर अक्षर A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 और F = 15 का उपयोग करता है।
दाईं ओर से hex स्थानों के मूल्य 1, 16, 256 और 4096 हैं। hex संख्या अक्सर आगे 0x लगाकर लिखी जाती है, उदाहरण के लिए 0x2F।
एक hex अंक ठीक 4 बिट है, इसलिए 0011 0010 है 0x32: 0011 है 3 और 0010 है 2।
स्व-जाँच दशमलव में 0x1A क्या है?
110
11
161
26
उत्तर: 26. A = 10। स्थान 16 और 1 हैं, इसलिए 1 · 16 + 10 · 1 = 26। अंकों को साथ-साथ लिखना (110) या उन्हें जोड़ना (11) स्थानीय मानों को नज़रअंदाज़ करता है। 161 स्थानों को गलत क्रम में लेता है।
3ऋणात्मक संख्याएँ: दो का पूरक
सभी धनात्मक स्थानों वाला बाइट 0 से 255 संग्रहीत करता है। इसे अचिह्नित कहते हैं।
ऋणात्मक संख्याएँ संग्रहीत करने के लिए कंप्यूटर दो के पूरक का उपयोग करते हैं। एकमात्र परिवर्तन यह है कि सबसे बाईं बिट का मूल्य +128 के बजाय −128 है।
अतः 1000 0011 है −128 + 2 + 1 = −125। सबसे बाईं बिट को चिह्न बिट कहते हैं: जब यह 1 हो, संख्या ऋणात्मक होती है।
8-बिट दो के पूरक की संख्या −128 (1000 0000) से +127 (0111 1111) तक जाती है।
ऋणात्मक संख्या −x लिखने के लिए बाइनरी में +x से शुरू करें, हर बिट उलटें (0 बनता है 1, 1 बनता है 0) और 1 जोड़ें।
−5 का उदाहरण: 5 है 0000 0101। उलटने पर 1111 1010। 1 जोड़ने पर 1111 1011 मिलता है।
वही पैटर्न अचिह्नित पढ़ने पर उसका मान 256 − x है। −5 के लिए यह 251 है, और 1111 1011 वास्तव में 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251 है।
स्व-जाँच 8-बिट पैटर्न 1111 1111 दो के पूरक में एक संख्या संग्रहीत करता है। इसका मान क्या है?
255
−127
−128
−1
उत्तर: −1. −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −1। 255 अचिह्नित पाठ है। −127 पहली बिट को 111 1111 के आगे ऋण चिह्न मानने से आता है।
4विधि चरण-दर-चरण
बाइनरी या hex से दशमलव:
हर अंक के नीचे स्थानीय मान लिखें: बाइनरी के लिए 2 की घातें, hex के लिए 16 की घातें, दाईं ओर 1 से शुरू करते हुए।
hex में हर अक्षर को उसके मान से बदलें: A = 10 से F = 15 तक।
हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करें और सब जोड़ें।
दो का पूरक:
किसी पैटर्न को पढ़ने के लिए सबसे बाईं बिट को मान −128 (8 बिट में) दें और सभी 1-बिटों के स्थानीय मान जोड़ें।
−x लिखने के लिए +x को 8 बिट में लिखें, हर बिट उलटें और 1 जोड़ें।
उस पैटर्न का अचिह्नित मान 256 − x है। अपनी बिटें जाँचने के लिए इसका उपयोग करें।
बिट, परास और मेमोरी:
n बिट 2ⁿ अलग-अलग पैटर्न देती हैं।
अचिह्नित रूप में वे 0 से 2ⁿ − 1 संग्रहीत करती हैं। दो के पूरक में वे −2ⁿ⁻¹ से 2ⁿ⁻¹ − 1 संग्रहीत करती हैं।
k वस्तुओं को अपना-अपना कोड देने के लिए वह सबसे छोटा b ज्ञात करें जिसके लिए 2b ≥ k।
मेमोरी के लिए वस्तुओं की संख्या को प्रति वस्तु बिटों से गुणा करें, फिर बाइट के लिए 8 से और KiB के लिए 1024 से भाग दें।
M = चौड़ाई × ऊँचाई × बिट प्रति पिक्सेल / 8 / 1024 (KiB)
5एक हल किया गया उदाहरण
हर चरण का अनुसरण करें। अगला चरण खोलने से पहले उसका अनुमान लगाने का प्रयास करें।
हल किया गया उदाहरण
8-बिट पैटर्न 1011 0110 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?
1
स्थानीय मान लिखें
दो के पूरक में सबसे बायाँ स्थान −128 का है। अन्य स्थान 64, 32, 16, 8, 4, 2 और 1 हैं।
2
चिह्न बिट देखें
सबसे बाईं बिट 1 है, इसलिए संख्या ऋणात्मक है।
3
1-बिटें जोड़ें
1-बिटें स्थानों −128, 32, 16, 4 और 2 में हैं।
N = −128 + 32 + 16 + 4 + 2 = −74
4
अचिह्नित मान से जाँचें
अचिह्नित पढ़ने पर पैटर्न 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 है।
ऋणात्मक संख्या के लिए अचिह्नित मान 256 − x है, इसलिए x = 256 − 182 = 74। इससे फिर N = −74 मिलता है।
5
उलटकर जाँचें
1011 0110 को उलटकर 0100 1001 पाएँ, फिर 1 जोड़कर 0100 1010 पाएँ।
0100 1010 है 64 + 8 + 2 = 74। अतः मूल पैटर्न −74 है।
उत्तर
N = −74
6सामान्य गलतियाँ
बिटें उलटने के बाद 1 जोड़ना भूल जाना। आप एक कम पर पहुँचते हैं।
दो के पूरक के पैटर्न को अचिह्नित पढ़ना, उदाहरण के लिए 1111 1111 को −1 के बजाय 255।
चिह्न बिट को अन्य बिटों के आगे ऋण चिह्न मानना। दो के पूरक में इसका मूल्य −128 है।
स्थानों को गलत क्रम में देना। 1 मूल्य वाला स्थान हमेशा दाईं ओर होता है।
hex में A = 11 का उपयोग करना। अक्षर A = 10 से शुरू होते हैं।
मेमोरी वाले प्रश्नों में बिट और बाइट को मिला देना। बिटों की संख्या को 8 से भाग दें।
स्व-जाँच 8-बिट दो के पूरक के पैटर्न के रूप में −5 क्या है?
0000 0101
1000 0101
1111 1010
1111 1011
उत्तर: 1111 1011. 5 है 0000 0101। उलटने पर 1111 1010, और 1 जोड़ने पर 1111 1011। 1111 1010 में 1 जोड़ना भूल गए हैं, और 1000 0101 5 के आगे ऋण चिह्न लगा देता है।
7परीक्षा प्रश्न कैसे दिखते हैं
आसान: बाइनरी और hex से दशमलव। एक 8-बिट बाइनरी संख्या या 3-अंकीय hex संख्या को दशमलव में बदलें।
मध्यम: दो का पूरक। एक चिह्नित 8-बिट पैटर्न का मान पढ़ें, या किसी ऋणात्मक संख्या को पैटर्न के रूप में लिखें और उसका अचिह्नित मान दें।
कठिन: बिट, परास और मेमोरी। n बिट में समाने वाला सबसे बड़ा या सबसे ऋणात्मक मान, k कोडों के लिए आवश्यक बिटों की संख्या, या किसी छवि द्वारा ली गई मेमोरी।
कठिन प्रश्न का उदाहरण: 24 बिट प्रति पिक्सेल वाली 256 × 256 छवि 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB लेती है।
स्व-जाँच 375 वस्तुओं को अपना-अपना कोड देने वाली बिटों की न्यूनतम संख्या क्या है?
188
512
8
9
उत्तर: 9. 2⁸ = 256 कोड बहुत कम हैं, 2⁹ = 512 पर्याप्त हैं, इसलिए 9 बिट। 512 कोडों की संख्या है, बिटों की नहीं।
षोडशआधारी संख्या 0x2BE को दशमलव में बदलें। N ज्ञात करें।
0x2BEA = 10 … F = 15
ज्ञात करें: N
संकेत दिखाएँ
षोडशआधारी स्थान दाईं ओर से 1, 16, 256, 4096 के होते हैं।
अक्षरों को उनके मानों से बदलें (A = 10 … F = 15), स्थानीय मान से गुणा करें और जोड़ें।
2 = 2, B = 11, E = 14.
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करें
2·256 + 11·16 + 14·1 = 702
उत्तर
0x2BE = 702
उदाहरण 2मध्यम
बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −45 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?
N = −458 bit
ज्ञात करें: U
संकेत दिखाएँ
45 को द्विआधारी में लिखें, हर बिट को उलटें, फिर 1 जोड़ें।
45 = 0010 1101₂.
चिह्नरहित संख्या के रूप में पैटर्न 256 + N के बराबर होता है।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
उलटें और एक जोड़ें
45 = 0010 1101
उलटा हुआ: 1101 0010
+1 → 1101 0011
अचिह्नित रूप में पढ़ें
1101 0011₂ = 256 − 45 = 211
उत्तर
U = 211
उदाहरण 3कठिन
बिट को 0111 0001 >> 3 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?
0111 0001>> 3
ज्ञात करें: R
संकेत दिखाएँ
3 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 3 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।
एक बार में एक बिट स्थान पर काम करें, बाएँ से दाएँ।
परिणाम के पहले चार बिट 0000 हैं।
उत्तर और चरण-दर-चरण हल दिखाएँ
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
बिट-दर-बिट
3 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 3 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।
0111 0001 >> 3
= 0000 1110
परिणाम का मान
0000 1110₂ = 14
उत्तर
R = 14
प्रश्न और उत्तर
संख्या पद्धतियाँ क्या है?
रोज़मर्रा के जीवन में आप दशमलव, आधार 10, में गिनते हैं। इसमें दस अंक, 0 से 9, होते हैं, और हर स्थान अपने दाईं ओर के स्थान से दस गुना मूल्य का होता है।
352 में 3 का मूल्य 300, 5 का मूल्य 50 और 2 का मूल्य 2 है। दाईं ओर से स्थानों के मूल्य 1, 10, 100 हैं।
संख्या पद्धतियाँ के प्रश्न चरण-दर-चरण कैसे हल करें?
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
संख्या पद्धतियाँ के अभ्यास में क्या शामिल है?
आसान: द्विआधारी और षोडशआधारी से दशमलव
मध्यम: दो का पूरक
कठिन: बिट, परास और मेमोरी
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं। अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
अभ्यास कैसे काम करता है
हर प्रश्न में नए मान होते हैं, इसलिए आप उत्तर नहीं बल्कि विधि सीखते हैं।
अटक गए? पहले एक छोटा संकेत खोलें, और पूरी व्याख्या तभी जब ज़रूरत हो।
आपकी प्रगति, गलतियाँ और सहेजे गए प्रश्न रखे जाते हैं, ताकि आप परीक्षा से पहले दोहरा सकें।