उत्तरों सहित इष्टतमीकरण वर्कशीट

एक आयताकार बाड़े को 360 m बाड़ से घेरा जाता है और लंबाई x वाली भुजाओं के समांतर एक अतिरिक्त बाड़ से दो भागों में बाँटा जाता है (कुल मिलाकर लंबाई x की तीन और लंबाई y की दो बाड़ें)। घेरा जा सकने वाला सबसे बड़ा कुल क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए।

एक आयताकार बाड़े को 72 m बाड़ से घेरा जाता है और लंबाई x वाली भुजाओं के समांतर एक अतिरिक्त बाड़ से दो भागों में बाँटा जाता है (कुल मिलाकर लंबाई x की तीन और लंबाई y की दो बाड़ें)। सबसे बड़ा कुल क्षेत्रफल देने वाली लंबाई x ज्ञात कीजिए।

वर्गाकार आधार वाले एक खुले डिब्बे (बिना ढक्कन) में 4000 cm³ आना चाहिए। सबसे कम संभव सामग्री का उपयोग करें, अर्थात आधार और चारों भुजाओं का सबसे छोटा क्षेत्रफल। न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल S ज्ञात कीजिए।

1200 m² का एक आयताकार भूखंड चारों ओर से बाड़ से घिरा है। सड़क के किनारे वाली भुजा, जिसकी लंबाई x है, की लागत €30 प्रति मीटर है; अन्य तीन भुजाओं की लागत €10 प्रति मीटर है। लागत न्यूनतम करने वाली सड़क की ओर की भुजा की लंबाई x ज्ञात कीजिए।

एक कंपनी प्रति सप्ताह q इकाइयाँ बेचती है। जिस मूल्य पर वह उन्हें बेच सकती है वह p = 70 − 0.5q यूरो प्रति इकाई है, और लागत C(q) = 400 + 25q यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला साप्ताहिक उत्पादन q ज्ञात कीजिए।

एक छोटी फ़र्म अपना उत्पाद €80 प्रति इकाई के स्थिर बाज़ार मूल्य पर बेचती है। q इकाइयाँ बनाने की लागत C(q) = 100 + 58q + 0.25q² यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला उत्पादन q ज्ञात कीजिए।