कलन 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

इष्टतमीकरण

विधि: Q(x) को एक चर में लिखें, Q′(x) = 0 हल करें, Q″ या अंत्य बिंदु जाँचें
उच्चिष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
निम्निष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
बंद बेलन: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
लाभ: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(4x) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(4x)x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·sin(x), x रेडियन में। f′(2) ज्ञात करें।

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.अवकलजकठिन

f(x) = 3x² + 3x − 4 की x = 3 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 3x² + 3x − 4x = 3

b =

5.इष्टतमीकरणमध्यम

300 m² का एक आयताकार भूखंड चारों ओर से बाड़ से घिरा है। सड़क के किनारे वाली भुजा, जिसकी लंबाई x है, की लागत €25 प्रति मीटर है; अन्य तीन भुजाओं की लागत €5 प्रति मीटर है। लागत न्यूनतम करने वाली सड़क की ओर की भुजा की लंबाई x ज्ञात कीजिए।

A = 300 m²€25/m€5/m

x = m

6.इष्टतमीकरणकठिन

एक छोटी फ़र्म अपना उत्पाद €40 प्रति इकाई के स्थिर बाज़ार मूल्य पर बेचती है। q इकाइयाँ बनाने की लागत C(q) = 14500 + 6q + 0.01q² यूरो है। अधिकतम लाभ P ज्ञात कीजिए।

p = €40C = 14500 + 6q + 0.01q²

P = €

7.समाकलमध्यम

I = ∫₁³ 2/x dx का मान निकालें।

f(x) = 2/x[1, 3]

I =

8.समाकलकठिन

I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx का मान निकालिए।

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.3679

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

लघुगणक लें

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

मान निकालें

u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।

ln L = 1·(−1) = −1

लघुगणक हटाएँ

L = e⁻¹ = 0.3679

उत्तर

L = 0.3679

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.75

लोपिताल का नियम

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[4·cos 4x]

x = 0 रखें

L = 3/4 = 0.75

उत्तर

L = 0.75

3.अवकलज

उत्तर: f′(2) = 0.077

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल और शृंखला नियम

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

मान रखें

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

उत्तर

f′(2) = 0.077

4.अवकलज

उत्तर: b = −31

बिंदु और ढाल

f(3) = 32

f′(x) = 6x + 3 → f′(3) = 21

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 32 − 21·3 = −31

उत्तर

b = −31

5.इष्टतमीकरण

उत्तर: x = 10 m

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

x के फलन के रूप में लागत

C(x) = 30x + 3000/x

अवकलज को शून्य रखें

C″(x) = 6000/x³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।

x = √(3000/30) = 10 m

y = 300/10 = 30 m

न्यूनतम लागत

C = 30·10 + 3000/10 = €600

उत्तर

x = 10 m

6.इष्टतमीकरण

उत्तर: P = 14400 €

लाभ फलन

P(q) = 40q − (14500 + 6q + 0.01q²) = −0.01q² + 34q − 14500

अवकलज को शून्य रखें

P″(q) = −0.02 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।

34 − 0.02q = 0 → q = 1700

अधिकतम लाभ

P = 34·1700 − 0.01·1700² − 14500 = €14400

उत्तर

P = €14400

7.समाकल

उत्तर: I = 2.197

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिअवकलज

F(x) = 2·ln x

सीमाओं पर मान निकालें

I = 2·(ln 3 − ln 1) = 2·ln 3 = 2.197

उत्तर

I = 2.197

8.समाकल

उत्तर: I = 37.59

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

पहला चरण

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

दूसरा चरण

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

सीमाएँ

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

उत्तर

I = 37.59

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