कलन 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

इष्टतमीकरण

विधि: Q(x) को एक चर में लिखें, Q′(x) = 0 हल करें, Q″ या अंत्य बिंदु जाँचें
उच्चिष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
निम्निष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
बंद बेलन: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
लाभ: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (√(x² − 4x) − x) ज्ञात कीजिए।

f(x) = √(x² − 4x) − xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x² ज्ञात कीजिए।

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·sin(x), x रेडियन में। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.अवकलजकठिन

मान लें f(x) = x³ + 7.5x² + 12x + 6। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।

f(x) = x³ + 7.5x² + 12x + 6

x =

5.इष्टतमीकरणमध्यम

वर्गाकार आधार वाले एक खुले डिब्बे (बिना ढक्कन) में 32000 cm³ आना चाहिए। सबसे कम संभव सामग्री का उपयोग करें, अर्थात आधार और चारों भुजाओं का सबसे छोटा क्षेत्रफल। आधार भुजा x ज्ञात कीजिए।

V = 32000 cm³

x = cm

6.इष्टतमीकरणकठिन

एक कंपनी प्रति सप्ताह q इकाइयाँ बेचती है। जिस मूल्य पर वह उन्हें बेच सकती है वह p = 160 − 0.5q यूरो प्रति इकाई है, और लागत C(q) = 600 + 110q यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला साप्ताहिक उत्पादन q ज्ञात कीजिए।

p = 160 − 0.5qC = 600 + 110q

q = इकाइयाँ

7.समाकलमध्यम

I = ∫₀¹ e^−0.5x dx का मान निकालें।

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

8.समाकलकठिन

I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx का मान निकालिए।

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = −2

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

संयुग्मी से गुणा करें

f(x) = −4x/(√(x² − 4x) + x)

x से भाग दें

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

x → ∞ लें

L = −4/(1 + 1) = −2

उत्तर

L = −2

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.125

पहला प्रयोग

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

दूसरा प्रयोग

0.25·e^0.5x/2

x = 0 रखें

L = 0.25·1/2 = 0.125

उत्तर

L = 0.125

3.अवकलज

उत्तर: f′(1) = 1.382

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल और शृंखला नियम

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

मान रखें

f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

उत्तर

f′(1) = 1.382

4.अवकलज

उत्तर: x = −1

अवकलज

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

f′(x) = 0 हल करें

x = −4 या x = −1

कौन-सा क्या है

f″(x) = 6x + 15: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

उत्तर

x = −1

5.इष्टतमीकरण

उत्तर: x = 40 cm

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

x के फलन के रूप में क्षेत्रफल

S(x) = x² + 128000/x

अवकलज को शून्य रखें

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।

x³ = 64000 → x = 40 cm

ऊँचाई और क्षेत्रफल

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

उत्तर

x = 40 cm

सबसे अच्छा खुला डिब्बा जितना चौड़ा है उससे आधा ऊँचा होता है।

6.इष्टतमीकरण

उत्तर: q = 50 इकाइयाँ

लाभ फलन

P(q) = (160 − 0.5q)·q − (600 + 110q) = −0.5q² + 50q − 600

अवकलज को शून्य रखें

P″(q) = −1 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।

q = 50/1 = 50

मूल्य और लाभ

p = 160 − 0.5·50 = €135

P = 50·50 − 0.5·50² − 600 = €650

उत्तर

q = 50

7.समाकल

उत्तर: I = 0.7869

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिअवकलज

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

सीमाओं पर मान निकालें

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

उत्तर

I = 0.7869

8.समाकल

उत्तर: I = 0.0609

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

पहला चरण

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

दूसरा चरण

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

सीमाएँ

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

उत्तर

I = 0.0609

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