सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
सीमा L = limx→∞ (1 − 2/x)2x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।
सीमा L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x² ज्ञात कीजिए।
मान लें f(x) = x2·e2x। f′(2) ज्ञात करें।
f(x) = 0.5x2 − 3x − 1 की x = 3 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।
एक बंद बेलनाकार डिब्बे (ऊपर और नीचे सहित) में 750 cm³ आना चाहिए। प्रयुक्त धातु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सबसे कम सामग्री लेने वाली त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
एक कंपनी प्रति सप्ताह q इकाइयाँ बेचती है। जिस मूल्य पर वह उन्हें बेच सकती है वह p = 200 − 0.2q यूरो प्रति इकाई है, और लागत C(q) = 9800 + 60q यूरो है। अधिकतम साप्ताहिक लाभ P ज्ञात कीजिए।
I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx का मान निकालें।
रेखा y = 4x और परवलय y = 3x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।
उत्तर: L = 0.01832
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।
उत्तर: L = 2
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: f′(2) = 655.2
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
उत्तर: b = −5.5
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
उत्तर: r = 4.924 cm
इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।
सबसे सस्ता बंद डिब्बा जितना चौड़ा है उतना ही ऊँचा होता है: h = 2r।
उत्तर: P = 14700 €
इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।
P″(q) = −0.4 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।
उत्तर: I = 2.333
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
उत्तर: V = 15.89
घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।
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