कलन 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

इष्टतमीकरण

विधि: Q(x) को एक चर में लिखें, Q′(x) = 0 हल करें, Q″ या अंत्य बिंदु जाँचें
उच्चिष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
निम्निष्ठ: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
बंद बेलन: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
लाभ: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x) ज्ञात कीजिए।

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x² ज्ञात कीजिए।

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·e^2x। f′(0.5) ज्ञात करें।

f(x) = x·e^2xx = 0.5

f′(0.5) =

4.अवकलजकठिन

f(x) = x² + x + 6 की x = −1 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = x² + x + 6x = −1

b =

5.इष्टतमीकरणमध्यम

एक बंद बेलनाकार डिब्बे (ऊपर और नीचे सहित) में 1000 cm³ आना चाहिए। प्रयुक्त धातु कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सबसे कम सामग्री लेने वाली त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

V = 1000 cm³

r = cm

6.इष्टतमीकरणकठिन

एक छोटी फ़र्म अपना उत्पाद €60 प्रति इकाई के स्थिर बाज़ार मूल्य पर बेचती है। q इकाइयाँ बनाने की लागत C(q) = 1000 + 46q + 0.01q² यूरो है। लाभ अधिकतम करने वाला उत्पादन q ज्ञात कीजिए।

p = €60C = 1000 + 46q + 0.01q²

q = इकाइयाँ

7.समाकलमध्यम

x = 0 से x = 1 तक y = 0.5x के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस (शंकु) का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.समाकलकठिन

परवलय y = 1 − x² और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 1 − x²

A =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = −5

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

संयुग्मी से गुणा करें

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

x से भाग दें

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

x → ∞ लें

L = −10/(1 + 1) = −5

उत्तर

L = −5

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 2

पहला प्रयोग

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

दूसरा प्रयोग

4·e^2x/2

x = 0 रखें

L = 4·1/2 = 2

उत्तर

L = 2

3.अवकलज

उत्तर: f′(0.5) = 5.437

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल नियम

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

मान रखें

f′(0.5) = 2.718·(1 + 1) = 5.437

उत्तर

f′(0.5) = 5.437

4.अवकलज

उत्तर: b = 5

बिंदु और ढाल

f(−1) = 6

f′(x) = 2x + 1 → f′(−1) = −1

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−1)·(−1) = 5

उत्तर

b = 5

5.इष्टतमीकरण

उत्तर: r = 5.419 cm

इष्टतमीकरण: इष्टतम की जाने वाली राशि को एक चर के फलन के रूप में लिखें, दूसरे चर को हटाने के लिए प्रतिबंध का उपयोग करें। अवकलज को शून्य रखें और हल करें। जाँचें कि क्रांतिक बिंदु उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है (द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न परिवर्तन से) और अनुमत परास के भीतर है; शून्य भुजा-लंबाई जैसा अंत्य बिंदु उत्तर नहीं है।

r के फलन के रूप में क्षेत्रफल

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

अवकलज को शून्य रखें

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, इसलिए यह निम्निष्ठ है।

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

ऊँचाई और क्षेत्रफल

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

उत्तर

r = 5.419 cm

सबसे सस्ता बंद डिब्बा जितना चौड़ा है उतना ही ऊँचा होता है: h = 2r।

6.इष्टतमीकरण

उत्तर: q = 700 इकाइयाँ

लाभ फलन

P(q) = 60q − (1000 + 46q + 0.01q²) = −0.01q² + 14q − 1000

अवकलज को शून्य रखें

P″(q) = −0.02 < 0, इसलिए यह उच्चिष्ठ है।

14 − 0.02q = 0 → q = 700

अधिकतम लाभ

P = 14·700 − 0.01·700² − 1000 = €3900

उत्तर

q = 700

7.समाकल

उत्तर: V = 0.2618

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

चकती विधि

V = π∫₀¹ 0.25x² dx

समाकलन करें

V = π·0.25·1³/3 = 0.2618

उत्तर

V = 0.2618

जाँच: त्रिज्या 0.5 और ऊँचाई 1 वाले शंकु का आयतन (1/3)πr²h = 0.2618 है।

8.समाकल

उत्तर: A = 1.333

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

शून्यक

1 − x² = 0 → x = ±1

समाकलन करें

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

उत्तर

A = 1.333

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