कलन 2: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

बहुचर कलन

आंशिक अवकलज: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
दिशात्मक अवकलज: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
स्पर्श तल: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
द्वि-समाकल: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
ध्रुवीय निर्देशांक: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

विधि

आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (f_x, f_y) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
चरम बिंदुओं के लिए f_x = 0 और f_y = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = f_xx·f_yy − f_xy² से वर्गीकृत करें।
द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.समाकलमध्यम

I = ∫₁⁴ x·ln x dx का मान निकालिए।

∫₁⁴ x ln x dx

I =

2.समाकलकठिन

I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx का मान निकालिए।

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ (5k + 1)/(k + 2)B: Σ (1/3)ᵏC: Σ (k + 1)/k²D: Σ 1/(3k + 1)

1A: Σ (5k + 1)/(k + 2)
2B: Σ (1/3)ᵏ
3C: Σ (k + 1)/k²
4D: Σ 1/(3k + 1)

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

a = 2 के परितः f(x) = 1/x की टेलर श्रेणी में (x − 2)³ का गुणांक c₃ ज्ञात करें।

f(x) = 1/xa = 2k = 3

c₃ =

5.बहुचर कलनमध्यम

f(x, y) = −3x³y² + 4x² − y³ − 2xy के लिए (−1, 2) पर सबसे तीव्र आरोहण की दिशा धनात्मक x-अक्ष से कोण θ के रूप में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच डिग्री में।

f(x, y) = −3x³y² + 4x² − y³ − 2xyP = (−1, 2)

θ = °

6.बहुचर कलनकठिन

I = ∬_R xy dA का मान निकालें, जहाँ R परवलय y = x² और रेखा y = 4x के बीच का क्षेत्र है।

y = x²y = 4xf = xy

I =

7.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 4 और y′(0) = 1 के साथ y″ + 7y′ + 12y = 0 हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 1

y(2) =

8.अवकल समीकरणकठिन

एक टैंक में 400 L जल है जिसमें 10 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.2 kg नमक वाला लवणजल 4 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। कितने मिनट t बाद टैंक में 45 kg नमक होगा?

V = 400 Lm₀ = 10 kgc = 0.2 kg/Lr = 4 L/min

t = min

3विलयन

1.समाकल

उत्तर: I = 7.34

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

प्रतिअवकलज

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

सीमाएँ

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

उत्तर

I = 7.34

2.समाकल

उत्तर: I = 3.602

पहला चरण

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

दूसरा चरण

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

सीमाएँ

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

उत्तर

I = 3.602

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: B: Σ (1/3)ᵏ

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ (5k + 1)/(k + 2) → पद 0 की जगह 5 की ओर जाते हैं: n-वें पद परीक्षण से अपसरित होती है।

B: Σ (1/3)ᵏ → r = 1/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी, |r| < 1: अभिसरित होती है।

C: Σ (k + 1)/k² → बड़े k के लिए 1/k जैसा व्यवहार करती है: हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित होती है।

D: Σ 1/(3k + 1) → बड़े k के लिए 1/(3k) जैसा व्यवहार करती है; हरात्मक श्रेणी से तुलना करने पर अपसरित होती है।

उत्तर

B: Σ (1/3)ᵏ

उत्तर

B: Σ (1/3)ᵏ

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: c₃ = −0.0625

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

अवकलज f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

गुणांक

c₃ = −6/(2⁴·6) = −0.0625

c₃ = −0.0625

उत्तर

c₃ = −0.0625

5.बहुचर कलन

उत्तर: θ = 177.6 °

प्रवणता: ∇f = (f_x, f_y) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज D_uf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt।

आंशिक अवकलज

f_x = −9x²y² + 8x − 2y → f_x(−1, 2) = −48

f_y = −6x³y − 3y² − 2x → f_y(−1, 2) = 2

दिशा

θ = atan2(2, −48) = 177.6°

उत्तर

θ = 177.6°

6.बहुचर कलन

उत्तर: I = 170.7

क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर f_x = f_y = 0 होता है। D = f_xxf_yy − f_xy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और f_xx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और f_xx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।

प्रतिच्छेदन

x² = 4x → x = 0, x = 4

भीतरी समाकल

∫_x²^4x xy dy = x·(16x² − x⁴)/2

बाहरी समाकल

I = ∫₀⁴ (16x³ − x⁵)/2 dx = 170.7

उत्तर

I = 170.7

7.अवकल समीकरण

उत्तर: y(2) = 0.03778

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 4, −3A − 4B = 1

A = 17, B = −13

मान निकालें

y(2) = 17·e⁻⁶ + (−13)·e⁻⁸ = 0.03778

उत्तर

y(2) = 0.03778

8.अवकल समीकरण

उत्तर: t = 69.31 min

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

परिणाम

m(t) = 80 + (−70)·e^−t/100

t के लिए हल करें

e^−t/100 = (80 − 45)/(80 − 10) = 0.5

t = 100·ln(2) = 69.31 min

उत्तर

t = 69.31 min

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