कलन 2: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

समाकल

घात नियम
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल
∫ab f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
∫ab (f − g) dx

विधि

  1. जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
  2. घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
  3. जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
  4. निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

बहुचर कलन

आंशिक अवकलज
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
प्रवणता
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
दिशात्मक अवकलज
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
स्पर्श तल
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
शृंखला नियम
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
द्वितीय-अवकलज परीक्षण
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
द्वि-समाकल
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
ध्रुवीय निर्देशांक
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

विधि

  1. आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
  2. प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (fx, fy) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
  3. चरम बिंदुओं के लिए fx = 0 और fy = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = fxx·fyy − fxy² से वर्गीकृत करें।
  4. द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.समाकलमध्यम
xy15y = x ln x

I = ∫₁5 x·ln x dx का मान निकालिए।

∫₁5 x ln x dx
I =
2.समाकलकठिन
xy1y = 3xy = 3x²

रेखा y = 3x और परवलय y = 3x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 3xy = 3x²
V =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
xx₀ = −2??R

घात श्रेणी Σk=1∞ (x + 2)ᵏ/(k·4ᵏ) की अभिसरण त्रिज्या R ज्ञात करें।

Σ (x + 2)ᵏ/(k·4ᵏ)x₀ = −2
R =
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

a = 1 के परितः f(x) = e−x की टेलर श्रेणी में (x − 1)³ का गुणांक c₃ ज्ञात करें।

f(x) = e−xa = 1k = 3
c₃ =
5.बहुचर कलनमध्यम
xy1−1∇fP

f(x, y) = y·e3xy के लिए (1, −1) पर सबसे तीव्र आरोहण की दिशा धनात्मक x-अक्ष से कोण θ के रूप में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच डिग्री में।

f(x, y) = y·e3xyP = (1, −1)
θ = °
6.बहुचर कलनकठिन
xy−202−202AB

चिह्नित बिंदु f(x, y) = x³ − 12x + y² के क्रांतिक बिंदु हैं। काठी बिंदु पर क्लिक करें।

f(x, y) = x³ − 12x + y²
  1. 1A (−2, 0)
  2. 2B (2, 0)
7.अवकल समीकरणमध्यम
tyy(0) = 2y(1.5) = ?

y(0) = 2 और y′(0) = 1 के साथ y″ + 7y′ + 12y = 0 हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(1.5) =
8.अवकल समीकरणकठिन
tyK = 2y(0.75) = ?

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 5y = 10 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.75) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।

y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =

3विलयन

1.समाकल

उत्तर: I = 14.12

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

प्रतिअवकलज

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

सीमाएँ

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

उत्तर

I = 14.12
2.समाकल

उत्तर: V = 3.77

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

प्रतिच्छेद बिंदु

3x = 3x² → x = 0, x = 1

वॉशर विधि

V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx

समाकलन करें

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

उत्तर

V = 3.77
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: R = 4

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

गुणांक

ck/ck+1 = 4·((k + 1)/k) → 4

त्रिज्या

R = 4

उत्तर

R = 4

अनुपात परीक्षण दोनों अंत बिंदुओं पर कुछ नहीं कहता; उन्हें अलग से जाँचना होता है।

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: c₃ = −0.06131

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

अवकलज f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = (−1)³·e−x

गुणांक

c₃ = (−1)³·e−1/3! = −0.06131
c₃ = −0.06131

उत्तर

c₃ = −0.06131
5.बहुचर कलन

उत्तर: θ = −33.69 °

प्रवणता: ∇f = (fx, fy) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज Duf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt।

आंशिक अवकलज

fx = 3y²e3xy → fx(1, −1) = 0.1494
fy = e3xy(1 + 3xy) → fy(1, −1) = −0.09957

दिशा

θ = atan2(−0.09957, 0.1494) = −33.69°

उत्तर

θ = −33.69°
6.बहुचर कलन

उत्तर: A (−2, 0)

क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर fx = fy = 0 होता है। D = fxxfyy − fxy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और fxx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और fxx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।

क्रांतिक बिंदु

fx = 0 और fy = 0 को साथ-साथ हल करें।

fx = (3x² − 12) = 0
fy = (2y) = 0
(2, 0), (−2, 0)

द्वितीय-अवकलज परीक्षण

(2, 0): fxx = 12, fyy = 2, fxy = 0, D = 24 → स्थानीय निम्निष्ठ
(−2, 0): fxx = −12, fyy = 2, fxy = 0, D = −24 → काठी बिंदु

बिंदु

A (−2, 0): काठी बिंदु

उत्तर

A (−2, 0)
7.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1.5) = 0.08263

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 2, −3A − 4B = 1
A = 9, B = −7

मान निकालें

y(1.5) = 9·e−4.5 + (−7)·e−6 = 0.08263

उत्तर

y(1.5) = 0.08263
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(0.75) = 1.462

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

स्थिर मान और मूल

yss = 2, r = −1 ± 2j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −1

मान निकालें

y(0.75) = 2·(1 − e−0.75(cos 1.5 + 0.5·sin 1.5)) = 1.462

उत्तर

y(0.75) = 1.462

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