सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
I = ∫28 4/x dx का मान निकालें।
रेखा y = 4x और परवलय y = 3x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।
चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।
f(x) = eˣ का सन्निकटन x = 0.5 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 2 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.001 से कम होना सुनिश्चित करे।
z = −2x²e3y, जहाँ x = t और y = t²। t = 1 पर dz/dt ज्ञात करने के लिए शृंखला नियम का उपयोग करें।
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy का (1, 1) पर एक क्रांतिक बिंदु है। वहाँ विविक्तकर D = fxxfyy − fxy² निकालें।
4 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 25 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 25 min के बाद इसका तापमान 22 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
y(0) = 5 के साथ y′ + 0.5y = 8e−t हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
उत्तर: I = 5.545
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
उत्तर: V = 15.89
घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।
उत्तर: A: Σ (3k + 1)/(k + 2)
अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।
उत्तर: n = 4
टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।
उत्तर: dz/dt = −321.4
प्रवणता: ∇f = (fx, fy) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज Duf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt।
उत्तर: D = 128
क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर fx = fy = 0 होता है। D = fxxfyy − fxy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और fxx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और fxx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।
उत्तर: k = 0.07784 min⁻¹
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
उत्तर: y(2) = 5.56
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
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