कलन 2: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

समाकल

घात नियम
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल
∫ab f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
∫ab (f − g) dx

विधि

  1. जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
  2. घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
  3. जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
  4. निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

बहुचर कलन

आंशिक अवकलज
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
प्रवणता
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
दिशात्मक अवकलज
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
स्पर्श तल
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
शृंखला नियम
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
द्वितीय-अवकलज परीक्षण
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
द्वि-समाकल
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
ध्रुवीय निर्देशांक
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

विधि

  1. आंशिक अवकलज के लिए दूसरे चर को अचर मानें और एकल-चर के नियम उपयोग करें।
  2. प्रवणता के प्रश्नों में बिंदु पर ∇f = (fx, fy) निकालें; सबसे तीव्र ढाल के लिए |∇f| और दिशात्मक अवकलज के लिए मात्रक सदिश u के साथ ∇f·u उपयोग करें।
  3. चरम बिंदुओं के लिए fx = 0 और fy = 0 को साथ-साथ हल करें, फिर हर बिंदु को D = fxx·fyy − fxy² से वर्गीकृत करें।
  4. द्वि-समाकल के लिए क्षेत्र का रेखाचित्र बनाएँ, क्रम (या वृत्तों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक) ऐसे चुनें कि भीतरी सीमाएँ घेरने वाले वक्र हों, और पहले भीतरी का समाकलन करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.समाकलमध्यम
xy02

I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx का मान निकालें।

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.समाकलकठिन
xy−22

परवलय y = 4 − x² और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 4 − x²
A =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
AΣ 1/k²k = 1 … ∞BΣ 1/(5k + 3)k = 1 … ∞CΣ (k + 5)/k²k = 1 … ∞DΣ k/(k + 6)k = 1 … ∞

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ 1/k²B: Σ 1/(5k + 3)C: Σ (k + 5)/k²D: Σ k/(k + 6)
  1. 1A: Σ 1/k²
  2. 2B: Σ 1/(5k + 3)
  3. 3C: Σ (k + 5)/k²
  4. 4D: Σ k/(k + 6)
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन
xyfP₄0.5

f(0.5) का सन्निकटन करने के लिए f(x) = 1/(1 − x) की घात 4 का मैकलॉरिन बहुपद उपयोग करें। P₄(0.5) दें।

f(x) = 1/(1 − x)n = 4x = 0.5
P₄(0.5) =
5.बहुचर कलनमध्यम

z = 3x²y + x² − y² + 4xy, जहाँ x = −t + 1 और y = −t² + 1। t = −1 पर dz/dt ज्ञात करने के लिए शृंखला नियम का उपयोग करें।

z = 3x²y + x² − y² + 4xyx = −t + 1y = −t² + 1t = −1
dz/dt =
6.बहुचर कलनकठिन
xy02−101(2, 0)

f(x, y) = 2x² − xy + 2y² − 8x + 2y − 3 का (2, 0) पर एक क्रांतिक बिंदु है। वहाँ विविक्तकर D = fxxfyy − fxy² निकालें।

f(x, y) = 2x² − xy + 2y² − 8x + 2y − 3P = (2, 0)
D =
7.अवकल समीकरणमध्यम
t (min)T (°C)41Ta​T = ?

340 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 23 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.01 min⁻¹ के साथ 41 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T0 = 340 °CTa = 23 °Ck = 0.01 min⁻¹t = 41 min
T = °C
8.अवकल समीकरणकठिन
ty1.5y(1.5) = ?

y(0) = 3 के साथ y′ + 0.5y = 8e−t हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।

y′ + 0.5y = 8e−ty(0) = 3
y(1.5) =

3विलयन

1.समाकल

उत्तर: I = 41.33

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिस्थापन

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

समाकलन करें और मान निकालें

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33

उत्तर

I = 41.33
2.समाकल

उत्तर: A = 10.67

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

शून्यक

4 − x² = 0 → x = ±2

समाकलन करें

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

उत्तर

A = 10.67
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: A: Σ 1/k²

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ 1/k² → p = 2 > 1 वाली p-श्रेणी: अभिसरित होती है।
B: Σ 1/(5k + 3) → बड़े k के लिए 1/(5k) जैसा व्यवहार करती है; हरात्मक श्रेणी से तुलना करने पर अपसरित होती है।
C: Σ (k + 5)/k² → बड़े k के लिए 1/k जैसा व्यवहार करती है: हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित होती है।
D: Σ k/(k + 6) → पद 0 की जगह 1 की ओर जाते हैं: n-वें पद परीक्षण से अपसरित होती है।

उत्तर

A: Σ 1/k²

उत्तर

A: Σ 1/k²
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: P₄(0.5) = 1.938

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मैकलॉरिन बहुपद

P₄(x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴

मान रखें

P₄(0.5) = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 1.938

उत्तर

P₄(0.5) = 1.938

यथार्थ मान f(0.5) = 2 है; अधिक पद लेने या 0 के निकट बिंदु लेने पर त्रुटि 0.0625 घटती है।

5.बहुचर कलन

उत्तर: dz/dt = 36

प्रवणता: ∇f = (fx, fy) सबसे तीव्र आरोहण की दिशा में इंगित करता है, और |∇f| परिवर्तन की सबसे बड़ी दर है। दिशा v के अनुदिश दिशात्मक अवकलज Duf = ∇f·u है, जहाँ मात्रक सदिश u = v/|v|। बिंदु (a, b) पर स्पर्श तल z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) है; यह उस बिंदु के निकट f का रैखिक सन्निकटन देता है। शृंखला नियम: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt।

बिंदु और दरें

x(−1) = 2, y(−1) = 0
dx/dt = −1, dy/dt = −2t = 2

आंशिक अवकलज

fx = 6xy + 2x + 4y = 4
fy = 3x² − 2y + 4x = 20

शृंखला नियम

dz/dt = 4·(−1) + 20·2 = 36

उत्तर

dz/dt = 36
6.बहुचर कलन

उत्तर: D = 15

क्रांतिक बिंदु और द्वि-समाकल: क्रांतिक बिंदु पर fx = fy = 0 होता है। D = fxxfyy − fxy² के साथ द्वितीय-अवकलज परीक्षण: D > 0 और fxx > 0 स्थानीय निम्निष्ठ है, D > 0 और fxx < 0 स्थानीय उच्चिष्ठ, D < 0 काठी बिंदु, और D = 0 कुछ तय नहीं करता। सामान्य क्षेत्र पर द्वि-समाकल के लिए भीतरी सीमाएँ वे वक्र रखें जो क्षेत्र को घेरते हैं; वृत्तीय क्षेत्रों और त्रिज्यखंडों के लिए ध्रुवीय निर्देशांक उपयोग करें, x = r cos θ, y = r sin θ और dA = r dr dθ (गुणक r न भूलें)।

द्वितीय अवकलज

fxx = 4, fyy = 4, fxy = −1

विविक्तकर

D = 4·4 − (−1)² = 15
→ स्थानीय निम्निष्ठ

उत्तर

D = 15
7.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 233.4 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 23 + 317·e−0.01t

t रखें

T(41) = 23 + 317·0.6637 = 233.4 °C

उत्तर

T = 233.4 °C
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1.5) = 5.405

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

समाकलन गुणक

μ = e0.5t
(e0.5ty)′ = 8e−0.5t

व्यापक हल

y = 8/(−0.5)·e−t + C·e−0.5t = −16·e−t + C·e−0.5t

प्रारंभिक प्रतिबंध

3 = −16 + C → C = 19

मान निकालें

y(1.5) = −16·0.2231 + 19·0.4724 = 5.405

उत्तर

y(1.5) = 5.405

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