CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप सतत चक्रवृद्धि के साथ 4% प्रति वर्ष पर €2 000 निवेश करते हैं। 3 वर्षों बाद मूल्य FV ज्ञात कीजिए।

PV = €2 000r = 4%t = 3

FV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 22 वर्षों तक हर महीने के अंत में €300 बचाते हैं। खाता प्रति वर्ष 5.4% देता है, मासिक चक्रवृद्धि। अंत में आपकी कितनी बचत होगी? FV ज्ञात करें।

A = €3005.4% / 12N = 264

FV = €

3.NPV और IRRमध्यम

एक मशीन की लागत आज €60 000 है, यह 8 वर्ष चलती है और इसे चलाने में प्रति वर्ष €2 000 लगते हैं (हर वर्ष के अंत में भुगतान)। पूँजी की लागत 5% है। इसकी तुल्य वार्षिक लागत EAC ज्ञात कीजिए।

C₀ = €60 000M = €2 000n = 8r = 5%

EAC = €

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €10 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €6 000, €5 500, €7 500 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 500CF₃ = 7 500

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 4 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 4% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 7%YTM = 4%n = 4

P = €

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

16 वर्ष की शेष परिपक्वता वाला एक बॉन्ड (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 9%) €1 089 में बिकता है। जारीकर्ता इसे 5 वर्षों में €1 090 की कॉल कीमत पर वापस बुला (कॉल कर) सकता है। कॉल तक प्रतिफल YTC प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 9%P = €1 089कॉल कीमत = €1 090कॉल तक 5 वर्ष

YTC = %

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी का ऋण-इक्विटी अनुपात (बाज़ार मूल्यों पर) 1 है। इसकी इक्विटी की लागत 12%, कर-पूर्व ऋण लागत 3.5% और कर दर 20% है। WACC ज्ञात कीजिए।

D/E = 1r_e = 12%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी की इक्विटी का बाज़ार मूल्य €8 000 000 और इक्विटी की लागत 12% है। इसके ऋण में 5 000 बॉन्ड हैं (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 5%, 10 वर्ष की परिपक्वता) जो प्रत्येक €926 पर कारोबार करते हैं। कर दर 25.8% है। बॉन्डों के परिपक्वता तक प्रतिफल को कर-पूर्व ऋण लागत मानते हुए WACC ज्ञात कीजिए।

E = €8 000 000r_e = 12%बॉन्ड: 5 000 × €926कूपन = 5%n = 10T = 25.8%

WACC = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 29, 56, 20, 21, 44, 56।

n = 7

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 70 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 55.6 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 70σ = 12x = 55.6

z =

11.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 4 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 4

P =

12.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.3 से €9 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €60; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€9: p = 0.3€60: p = 0.02

E(G) = €

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

डिब्बे के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 12 kg और मानक विचलन 0.8 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 16 का कुल द्रव्यमान 187.2 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16< 187.2 kg

P =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 95 और मानक विचलन s = 3.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 95s = 3.590%t(9) = 1.833

ऊपरी सीमा =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 14 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 14E = 295%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 197 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 197s = 8n = 49

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ < 500 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 12 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 495.5 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 500μ = 495.5σ = 12n = 64α = 0.05

β = %

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 324Σx² = 91Σy² = 17882Σxy = 1210

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 4

ŷ =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 2255 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

घातांक

r·t = 0.04·3 = 0.12

e^0.12 = 1.127

भविष्य मूल्य

FV = 2 000·1.127 = €2 254.99

उत्तर

FV = €2 254.99

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 151452 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·22 = 264

जमाओं का भविष्य मूल्य

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3.272 − 1)/0.0045 = €151 452.18

उत्तर

FV = €151 452.18

आपने खुद €79 200 जमा किया; बाकी ब्याज है।

3.NPV और IRR

उत्तर: EAC = 11283 €

तुल्य वार्षिक लागत: सभी लागतों के वर्तमान मूल्य को जीवनकाल में एक समान वार्षिक राशि (वार्षिकी) के रूप में फैलाएँ: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)। इससे अलग-अलग जीवनकाल वाली मशीनों की तुलना की जा सकती है।

वार्षिकी गुणक

(1 − 1.05⁻⁸)/0.05 = 6.463

वार्षिकीकृत क्रय मूल्य

60 000/6.463 = 9 283.31

EAC

EAC = 9 283.31 + 2 000 = €11 283.31

उत्तर

EAC = €11 283.31

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 38.67 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(35%) = 510.59

NPV(40%) = −174.93

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 35 + 5·510.59/(510.59 − (−174.93)) = 38.72%

सटीक: NPV(38.67%) = 0 → IRR = 38.67%

उत्तर

IRR = 38.67%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1110 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

प्रति अवधि

C = €35.00, i = 0.02, N = 8

कूपनों का वर्तमान मूल्य

€35.00·(1 − 0.8535)/0.02 = €256.39

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

€1 000·0.8535 = €853.49

कीमत

P = €1 109.88

उत्तर

P = €1 109.88

प्रतिफल कूपन दर से कम है, इसलिए बॉन्ड प्रीमियम पर बिकता है।

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTC = 8.28 %

प्रतिफल का समीकरण

1089 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

संख्यात्मक रूप से हल करें

y = 8%: €1 101.18

y = 9%: €1 058.49

YTC = 8.28%

उत्तर

YTC = 8.28%

परिपक्वता तक प्रतिफल 7.995% है। प्रीमियम बॉन्ड के निवेशक उसके कॉल होने की अपेक्षा करते हैं, इसलिए कम कॉल तक प्रतिफल अधिक यथार्थवादी है।

7.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 7.4 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

D/E से भार

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12% + 0.5·3.5%·(1 − 0.2) = 7.4%

उत्तर

WACC = 7.4%

8.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 9.235 %

ऋण की लागत (YTM)

926 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 6.006%

बाज़ार मूल्य

D = 5 000·€926 = €4 630 000

V = €12 630 000, E/V = 0.6334, D/V = 0.3666

WACC

WACC = 0.6334·12% + 0.3666·6.006%·(1 − 0.258) = 9.235%

उत्तर

WACC = 9.235%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.05

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 243/7 = 34.71

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−17.71)² + (−5.714)² + 21.29² + (−14.71)² + (−13.71)² + 9.286² + 21.29² = 1743

मानक विचलन

s = √(1743/6) = 17.05

उत्तर

s = 17.05

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −1.2

मानकीकृत करें

z = (55.6 − 70)/12 = −1.2

उत्तर

z = −1.2

11.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5177

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

उत्तर

P = 0.5177

12.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.9 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.3), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.68)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.3 + 57·0.02 − 3·0.68 = 0.9 €

उत्तर

E(G) = 0.9 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.06681

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 192 kg, σ_T = 0.8·√16 = 3.2 kg

मानकीकृत करें

z = (187.2 − 192)/3.2 = −1.5

प्रायिकता

P = Φ(−1.5) = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8849

अंतर का बंटन

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 97.03

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 1.833

त्रुटि सीमा

E = 1.833·3.5/√10 = 2.029

अंतराल

95 ± 2.029 → [92.97, 97.03]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 97.03

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 189

n ज्ञात करें

n = (1.96·14/2)² = 188.2

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 189

उत्तर

n = 189

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.625

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

परीक्षण सांख्यिकी

t = (197 − 200)/1.143 = −2.625

उत्तर

t = −2.625

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 8.771 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 12/√64 = 1.5

x̄_c = 500 − 1.645·1.5 = 497.5

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (497.5 − 495.5)/1.5 = 1.355

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z < 1.355) = 91.23%

β = 100% − 91.23% = 8.771%

उत्तर

β = 8.771%

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9247

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 1210 − 21·324/6 = 76

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 17882 − 324²/6 = 386

सहसंबंध गुणांक

r = 76/√(17.5·386) = 0.9247

उत्तर

r = 0.9247

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 53.05

माध्य

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 332/5 = 66.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

समाश्रयण रेखा

b = 178/40 = 4.45

a = 66.4 − 4.45·7 = 35.25

ŷ = 35.25 + 4.45·x

पूर्वानुमान

ŷ = 35.25 + 4.45·4 = 53.05

उत्तर

ŷ = 53.05

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