CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक क्रेडिट कार्ड 16% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर लेता है, त्रैमासिक चक्रवृद्धि। प्रभावी वार्षिक दर EAR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 16%m = 4

EAR = %

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

€200 000 का ऋण 25 वर्षों में समान मासिक किस्तों में चुकाया जाता है। ब्याज दर प्रति वर्ष 7.2% है, मासिक चक्रवृद्धि। मासिक किस्त A ज्ञात करें।

P = €200 0007.2% / 12N = 300

A = €

3.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €60 000 है और यह वर्ष 1 से 6 के अंत में €26 500, €15 000, €23 000, €21 500, €15 500, €19 000 लौटाती है। पूँजी की लागत 6% है। मान लें कि नकदी प्रवाह हर वर्ष समान रूप से आते हैं। बट्टाकृत पेबैक अवधि DPB वर्षों में ज्ञात कीजिए।

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 500CF₂ = 15 000CF₃ = 23 000CF₄ = 21 500CF₅ = 15 500CF₆ = 19 000

DPB = वर्ष

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €10 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €4 000, €4 500, €6 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 500CF₃ = 6 000

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 8% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 10 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 3% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 8%YTM = 3%n = 10

P = €

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 4% का वार्षिक कूपन देता है और 5 वर्षों में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल 6% है। मैकॉले ड्यूरेशन D वर्षों में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 4%n = 5YTM = 6%

D = वर्ष

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €2 000 000 मूल्य की इक्विटी और €1 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 13%, कर-पूर्व ऋण लागत 7% और कर दर 21% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के व्यवसाय का अनुत्तोलित (परिसंपत्ति) बीटा 1.2 है। यह 0.6 का ऋण-इक्विटी अनुपात रखने की योजना बनाती है। कर दर 30%, जोखिम-मुक्त दर 1.5% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 4% है। नई पूँजी संरचना पर इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_U = 1.2D/E = 0.6T = 30%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 37, 18, 12, 53, 55, 22, 43।

n = 7

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 69 से अधिक है?

μ = 60σ = 15x = 69

P =

11.प्रायिकतामध्यम

11 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 11k = 4

N =

12.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 12 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 12p = 0.6k = 4

P =

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 237.1 g से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6< 237.1 g

P =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

20 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 89 और मानक विचलन s = 11 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 20x̄ = 89s = 1190%t(19) = 1.729

E =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 14 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 14E = 390%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

81 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 201.9 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 201.9s = 8n = 81

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 2.590%

n =

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 87Σx² = 91Σy² = 1503Σxy = 240

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 72 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 72

x =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: EAR = 16.99 %

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

प्रति अवधि दर

r/m = 0.16/4 = 0.04

एक वर्ष में चक्रवृद्धि करें

EAR = (1 + 0.04)⁴ − 1 = 1.17 − 1 = 16.99%

उत्तर

EAR = 16.99%

जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है तो EAR हमेशा नाममात्र दर से अधिक होती है।

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: A = 1439 €

मासिक दर और किस्तों की संख्या

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·25 = 300

किस्त

N समान भुगतानों A का वर्तमान मूल्य A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i है। इसे ऋण के बराबर रखें और A ज्ञात करें।

(1 + i)^−N = 0.1662

A = 200 000·0.006/(1 − 0.1662) = €1 439.18

उत्तर

A = €1 439.18

3.NPV और IRR

उत्तर: DPB = 3.137 वर्ष

प्रतिलाभ अवधि (पेबैक): वह समय जब तक संचयी नकदी प्रवाह प्रारंभिक निवेश की भरपाई न कर दें। माना जाता है कि हर वर्ष नकदी समान रूप से आती है, इसलिए अंतिम भाग वर्ष का एक अंश है। साधारण पेबैक मुद्रा के समय मूल्य को नज़रअंदाज़ करता है; बट्टाकृत पेबैक अवधि इसके बजाय बट्टाकृत नकदी प्रवाहों का उपयोग करती है।

बट्टाकृत और संचयी नकदी प्रवाह

वर्ष 1: 26 500/1.06 = 25 000.00 → Σ = 25 000.00

वर्ष 2: 15 000/1.124 = 13 349.95 → Σ = 38 349.95

वर्ष 3: 23 000/1.191 = 19 311.24 → Σ = 57 661.19

वर्ष 4: 21 500/1.262 = 17 030.01 → Σ = 74 691.20

अंतिम वर्ष का अंश

DPB = 3 + 2 338.81/17 030.01 = 3.137

उत्तर

DPB = 3.137 वर्ष

बट्टाकृत पेबैक हमेशा साधारण पेबैक (2.804 वर्ष) से लंबा होता है।

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 19.59 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(15%) = 826.00

NPV(20%) = −69.44

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 15 + 5·826.00/(826.00 − (−69.44)) = 19.61%

सटीक: NPV(19.59%) = 0 → IRR = 19.59%

उत्तर

IRR = 19.59%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1429 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

प्रति अवधि

C = €40.00, i = 0.015, N = 20

कूपनों का वर्तमान मूल्य

€40.00·(1 − 0.7425)/0.015 = €686.75

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

€1 000·0.7425 = €742.47

कीमत

P = €1 429.22

उत्तर

P = €1 429.22

प्रतिफल कूपन दर से कम है, इसलिए बॉन्ड प्रीमियम पर बिकता है।

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: D = 4.611 वर्ष

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

t = 1: 40/1.06 = 37.74, t·PV = 37.74

t = 2: 40/1.124 = 35.60, t·PV = 71.20

t = 3: 40/1.191 = 33.58, t·PV = 100.75

t = 4: 40/1.262 = 31.68, t·PV = 126.73

t = 5: 1040/1.338 = 777.15, t·PV = 3 885.74

ड्यूरेशन

P = 915.75

D = 4 222.17/915.75 = 4.611

उत्तर

D = 4.611 वर्ष

7.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 10.51 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·7%·(1 − 0.21) = 10.51%

उत्तर

WACC = 10.51%

8.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 8.316 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

उत्तोलित बीटा

β_L = 1.2·(1 + 0.7·0.6) = 1.704

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 1.5% + 1.704·4% = 8.316%

उत्तर

r_e = 8.316%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 240/7 = 34.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 2.714² + (−16.29)² + (−22.29)² + 18.71² + 20.71² + (−12.29)² + 8.714² = 1775

मानक विचलन

s = √(1775/6) = 17.2

उत्तर

s = 17.2

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2743

मानकीकृत करें

z = 0.6

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

उत्तर

P = 0.2743

11.प्रायिकता

उत्तर: N = 330

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

उत्तर

N = 330

12.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04204

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 495·0.6⁴·0.4⁸ = 495·0.1296·0.0006554 = 0.04204

उत्तर

P = 0.04204

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1611

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 240 g, σ_T = 1.2·√6 = 2.939 g

मानकीकृत करें

z = (237.1 − 240)/2.939 = −0.99

प्रायिकता

P = Φ(−0.99) = 0.1611

उत्तर

P = 0.1611

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.253

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 19, t = 1.729

त्रुटि सीमा

E = 1.729·11/√20 = 4.253

उत्तर

E = 4.253

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 59

n ज्ञात करें

n = (1.645·14/3)² = 58.93

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 59

उत्तर

n = 59

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.138

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

परीक्षण सांख्यिकी

t = (201.9 − 200)/0.8889 = 2.138

उत्तर

t = 2.138

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 28

n ज्ञात करें

n = (1.645·8/2.5)² = 27.71

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 28

उत्तर

n = 28

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9922

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 240 − 21·87/6 = −64.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 1503 − 87²/6 = 241.5

सहसंबंध गुणांक

r = −64.5/√(17.5·241.5) = −0.9922

उत्तर

r = −0.9922

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 7.146

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 428/6 = 71.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 320

समाश्रयण रेखा

b = 320/70 = 4.571

a = 71.33 − 4.571·7 = 39.33

ŷ = 39.33 + 4.571·x

x के लिए हल करें

x = (72 − 39.33)/4.571 = 7.146

उत्तर

x = 7.146

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