CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक क्रेडिट कार्ड 25% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर लेता है, मासिक चक्रवृद्धि। प्रभावी वार्षिक दर EAR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 25%m = 12

EAR = %

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

€250 000 का एक गृह ऋण 5.4% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर 20 वर्षों में समान मासिक किस्तों से चुकाया जाता है। वर्ष 11 के अंत की किस्त के ठीक बाद कितना बकाया है? बकाया शेष B ज्ञात कीजिए।

P = €250 0005.4% / 12N = 240k = 132

B = €

3.NPV और IRRमध्यम

€20 000 का निवेश वर्ष 1 से 4 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €5 000, €9 000, €9 000, €10 000। पूँजी की लागत 9% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €40 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €18 000, €23 500, €18 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 23 500CF₃ = 18 000

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 12 वर्षों में परिपक्व होता है और वार्षिक कूपन देता है। परिपक्वता तक प्रतिफल 7% होने पर यह €1 079 में बिकता है। कूपन दर c प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000n = 12P = €1 079YTM = 7%

c = %

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

13 वर्ष की शेष परिपक्वता वाला एक बॉन्ड (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 5%) €1 100 में बिकता है। जारीकर्ता इसे 5 वर्षों में €1 050 की कॉल कीमत पर वापस बुला (कॉल कर) सकता है। कॉल तक प्रतिफल YTC प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 5%P = €1 100कॉल कीमत = €1 050कॉल तक 5 वर्ष

YTC = %

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी €12 000 000 मूल्य के साधारण शेयरों, €1 500 000 मूल्य के अधिमान शेयरों और €5 000 000 मूल्य के ऋण से वित्तपोषित है। इक्विटी की लागत 10%, अधिमान शेयरों की लागत 7.5% और कर-पूर्व ऋण लागत 4% है। कर दर 21% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7.5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के पास €54.00 प्रति शेयर की दर से 5 000 000 शेयर और €960 प्रति बॉन्ड पर कारोबार कर रहे 5 000 बॉन्ड है। कर-पूर्व ऋण लागत 5% और कर दर 20% है। शेयर का बीटा 1.1, जोखिम-मुक्त दर 3.5% और बाज़ार प्रतिफल 9% है। WACC ज्ञात कीजिए।

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 9%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 52, 56, 31, 34, 29, 39।

n = 6

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 92.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 15x = 92.5

z =

11.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

12.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 8 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 1 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 8p = 0.4k = 1

P =

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 16 का कुल द्रव्यमान 1456 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1456 kg

P =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 80% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक80%

x = अंक

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 57.5 और मानक विचलन s = 1.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 57.5s = 1.590%t(6) = 1.943

निचली सीमा =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 22 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 22E = 2.595%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 79.86 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 79.86s = 20n = 49

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो? मानक विचलन 4 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 4E = 199%

n =

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 21 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 21

x =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: EAR = 28.07 %

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

प्रति अवधि दर

r/m = 0.25/12 = 0.02083

एक वर्ष में चक्रवृद्धि करें

EAR = (1 + 0.02083)¹² − 1 = 1.281 − 1 = 28.07%

उत्तर

EAR = 28.07%

जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है तो EAR हमेशा नाममात्र दर से अधिक होती है।

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: B = 145641 €

मासिक भुगतान

i = 0.0045, N = 240

A = 250 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻²⁴⁰) = €1 705.63

शेष किस्तों का वर्तमान मूल्य

जो भी अभी बकाया है उसे शेष किस्तों से ठीक-ठीक चुकाना होगा।

N − k = 240 − 132 = 108

B = 1706·(1 − (1 + 0.0045)⁻¹⁰⁸)/0.0045 = €145 640.72

उत्तर

B = €145 640.72

3.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 6196 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 5 000/1.09 = 4 587.16

CF₂/(1 + 0.09)² = 9 000/1.188 = 7 575.12

CF₃/(1 + 0.09)³ = 9 000/1.295 = 6 949.65

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 10 000/1.412 = 7 084.25

जोड़ें

NPV = €6 196.18

उत्तर

NPV = €6 196.18

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 22.74 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(20%) = 1 736.11

NPV(25%) = −1 344.00

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 20 + 5·1 736.11/(1 736.11 − (−1 344.00)) = 22.82%

सटीक: NPV(22.74%) = 0 → IRR = 22.74%

उत्तर

IRR = 22.74%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: c = 7.995 %

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

1000·(1 + 0.07)⁻¹² = €444.01

कूपन

C = (1079 − 444.01)/7.943 = €79.95

कूपन दर

c = 79.95/1000 = 7.995%

उत्तर

c = 7.995%

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTC = 3.701 %

प्रतिफल का समीकरण

1100 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1050/(1 + y)⁵

संख्यात्मक रूप से हल करें

y = 3%: €1 134.72

y = 4%: €1 085.61

YTC = 3.701%

उत्तर

YTC = 3.701%

परिपक्वता तक प्रतिफल 3.999% है। प्रीमियम बॉन्ड के निवेशक उसके कॉल होने की अपेक्षा करते हैं, इसलिए कम कॉल तक प्रतिफल अधिक यथार्थवादी है।

7.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 7.949 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €18 500 000

E/V = 0.6486, P_s/V = 0.08108, D/V = 0.2703

WACC

WACC = 0.6486·10% + 0.08108·7.5% + 0.2703·4%·(1 − 0.21) = 7.949%

उत्तर

WACC = 7.949%

8.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 9.453 %

बाज़ार मूल्य

E = 5 000 000·€54.00 = €270 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 3.5% + 1.1·5.5% = 9.55%

भार

V = €274 800 000, E/V = 0.9825, D/V = 0.01747

WACC

WACC = 0.9825·9.55% + 0.01747·5%·(1 − 0.2) = 9.453%

उत्तर

WACC = 9.453%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.3

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 241/6 = 40.17

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 11.83² + 15.83² + (−9.167)² + (−6.167)² + (−11.17)² + (−1.167)² = 638.8

मानक विचलन

s = √(638.8/5) = 11.3

उत्तर

s = 11.3

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = −0.5

मानकीकृत करें

z = (92.5 − 100)/15 = −0.5

उत्तर

z = −0.5

11.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.8047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

प्रसरण

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

उत्तर

σ = 0.8047

12.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.08958

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 1) = 8·0.4¹·0.6⁷ = 8·0.4·0.02799 = 0.08958

उत्तर

P = 0.08958

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9772

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

मानकीकृत करें

z = (1456 − 1360)/48 = 2

प्रायिकता

P = Φ(2) = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 112.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.8

सारणी से z

z ≈ 0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 अंक

उत्तर

x = 112.6 अंक

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 56.4

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 1.943

त्रुटि सीमा

E = 1.943·1.5/√7 = 1.102

अंतराल

57.5 ± 1.102 → [56.4, 58.6]

उत्तर

निचली सीमा = 56.4

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 298

n ज्ञात करें

n = (1.96·22/2.5)² = 297.5

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 298

उत्तर

n = 298

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.701

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

परीक्षण सांख्यिकी

t = (79.86 − 75)/2.857 = 1.701

उत्तर

t = 1.701

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 107

n ज्ञात करें

n = (2.576·4/1)² = 106.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 107

उत्तर

n = 107

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9664

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 388/6 = 64.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 474

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1527

सहसंबंध गुणांक

r = 474/√(157.5·1527) = 0.9664

उत्तर

r = 0.9664

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 2.289

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 115/6 = 19.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26.5

समाश्रयण रेखा

b = −26.5/17.5 = −1.514

a = 19.17 − (−1.514)·3.5 = 24.47

ŷ = 24.47 − 1.514·x

x के लिए हल करें

x = (21 − 24.47)/(−1.514) = 2.289

उत्तर

x = 2.289

यह स्वतंत्र अभ्यास सामग्री है। ExamProblems इस परीक्षा को संचालित करने वाले संगठन से संबद्ध या उसके द्वारा समर्थित नहीं है, और परीक्षा का नाम केवल सामग्री का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया है। CFA® and Chartered Financial Analyst® CFA Institute के ट्रेडमार्क हैं, जो ExamProblems से संबद्ध नहीं है, उसका समर्थन नहीं करता और उसकी सटीकता की ज़िम्मेदारी नहीं लेता।

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income