CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक संपत्ति से अगले वर्ष €20 000 का शुद्ध किराया मिलने की अपेक्षा है। किराया हमेशा के लिए 1.5% प्रति वर्ष बढ़ने की अपेक्षा है। आवश्यक प्रतिफल 3.5% प्रति वर्ष है। संपत्ति का आज का मूल्य PV ज्ञात कीजिए।

C₁ = €20 000g = 1.5%r = 3.5%

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 6% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €20 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €350 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €20 000A = €3506% / 12

N = किस्तें

3.NPV और IRRमध्यम

€30 000 का निवेश वर्ष 1 से 4 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €8 000, €14 000, €6 000, €12 000। पूँजी की लागत 12% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 14 000CF₃ = 6 000CF₄ = 12 000

NPV = €

4.NPV और IRRकठिन

€10 000 का एक निवेश 4 वर्षों तक हर वर्ष के अंत में €3 000 लौटाता है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

C₀ = €10 000CF = €3 000n = 4

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 10 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 3% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 7%YTM = 3%n = 10

P = €

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य और 8% वार्षिक कूपन वाला एक बॉन्ड 7 वर्ष में परिपक्व होता है और €1 080 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 8%n = 7P = €1 080

YTM = %

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €10 000 000 मूल्य की इक्विटी और €2 000 000 मूल्य का ऋण है। इसका WACC 10.4%, कर-पूर्व ऋण लागत 3% और कर दर 21% है। इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

E = €10 000 000D = €2 000 000WACC = 10.4%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के 2 000 000 शेयर €58.00 पर कारोबार करते हैं; इसकी इक्विटी का बही मूल्य €58 000 000 है। इसने अभी प्रति शेयर €2.60 का लाभांश दिया है, और लाभांश प्रति वर्ष 5% बढ़ते हैं। इसके ऋण का बाज़ार मूल्य €116 000 000 और कर-पूर्व लागत 4.5% है। कर दर 21% है। इक्विटी की लागत के लिए लाभांश वृद्धि मॉडल का उपयोग करते हुए WACC ज्ञात कीजिए।

N = 2 000 000P₀ = €58.00बही इक्विटी = €58 000 000D₀ = €2.60g = 5%D = €116 000 000r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 56, 24, 51, 19, 54।

n = 5

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 70 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 77.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 70σ = 5x = 77.5

z =

11.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.15

Var(X) =

12.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.2 से €9 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €30; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€9: p = 0.2€30: p = 0.02

E(G) = €

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0301 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0301

z =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 5% आते हैं (5वाँ शततमक)।

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 96.5 और मानक विचलन s = 12 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 96.5s = 1295%t(8) = 2.306

ऊपरी सीमा =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 21 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 21E = 390%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 97.43 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 97.43s = 20n = 49

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 114.3 है। समष्टि मानक विचलन 12 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 114.3σ = 12n = 1699%

L =

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 48Σy = 617Σx² = 454Σy² = 66343Σxy = 5383

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 32 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 32

x =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 1 × 10⁶ €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

बढ़ती शाश्वत वार्षिकी

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.035 − 0.015) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00

उत्तर

PV = €1 000 000.00

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 68 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.005/350 = 0.7143

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.7143)/ln(1.005) = 67.46

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

67 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 68

उत्तर

N = 68 किस्तें

3.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 200.5 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 8 000/1.12 = 7 142.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 14 000/1.254 = 11 160.71

CF₃/(1 + 0.12)³ = 6 000/1.405 = 4 270.68

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 12 000/1.574 = 7 626.22

जोड़ें

NPV = €200.47

उत्तर

NPV = €200.47

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 7.714 %

आवश्यक वार्षिकी गुणक

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 10 000/3 000 = 3.333

दर के लिए हल करें

दर बढ़ने पर वार्षिकी गुणक घटता है; दर को दो मानों के बीच घेरें और सीमा सँकरी करें।

i = 7%: 3.387

i = 8%: 3.312

IRR = 7.714%

उत्तर

IRR = 7.714%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1343 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

प्रति अवधि

C = €35.00, i = 0.015, N = 20

कूपनों का वर्तमान मूल्य

€35.00·(1 − 0.7425)/0.015 = €600.90

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

€1 000·0.7425 = €742.47

कीमत

P = €1 343.37

उत्तर

P = €1 343.37

प्रतिफल कूपन दर से कम है, इसलिए बॉन्ड प्रीमियम पर बिकता है।

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 6.539 %

प्रतिफल का समीकरण

€1 080 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

संख्यात्मक रूप से हल करें

P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89

YTM = 6.539%

उत्तर

YTM = 6.539%

7.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 12.01 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC का ऋण भाग

0.1667·3%·(1 − 0.21) = 0.395%

इक्विटी की लागत

r_e = (10.4% − 0.395%)/0.8333 = 12.01%

उत्तर

r_e = 12.01%

8.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 6.631 %

इक्विटी की लागत

D₁ = 2.6·1.05 = €2.73

r_e = 2.73/58 + 0.05 = 9.707%

बाज़ार मूल्य

E = 2 000 000·€58.00 = €116 000 000

V = €232 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9.707% + 0.5·4.5%·(1 − 0.21) = 6.631%

उत्तर

WACC = 6.631%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.8

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 204/5 = 40.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 15.2² + (−16.8)² + 10.2² + (−21.8)² + 13.2² = 1267

मानक विचलन

s = √(1267/4) = 17.8

उत्तर

s = 17.8

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.5

मानकीकृत करें

z = (77.5 − 70)/5 = 1.5

उत्तर

z = 1.5

11.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 4.11

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.15 = 2.7

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.15 = 11.4

प्रसरण

Var(X) = 11.4 − 2.7² = 4.11

उत्तर

Var(X) = 4.11

12.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −0.6 €

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.2), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.78)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.2 + 27·0.02 − 3·0.78 = −0.6 €

उत्तर

E(G) = −0.6 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.88

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0301 = 0.9699

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9699 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.88

उत्तर

z = 1.88

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 166.5 cm

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

वापस x पर

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

उत्तर

x = 166.49 cm

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 105.7

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 2.306

त्रुटि सीमा

E = 2.306·12/√9 = 9.224

अंतराल

96.5 ± 9.224 → [87.28, 105.7]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 105.7

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 133

n ज्ञात करें

n = (1.645·21/3)² = 132.6

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 133

उत्तर

n = 133

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.8995

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

परीक्षण सांख्यिकी

t = (97.43 − 100)/2.857 = −0.8995

उत्तर

t = −0.8995

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 106.6

त्रुटि सीमा

E = 2.576·12/√16 = 7.728

अंतराल सीमा

L = 114.3 − 7.728 = 106.6

उत्तर

L = 106.6

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.993

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 5383 − 48·617/6 = 447

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 66343 − 617²/6 = 2895

सहसंबंध गुणांक

r = 447/√(70·2895) = 0.993

उत्तर

r = 0.993

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 8.886

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

समाश्रयण रेखा

b = 158/40 = 3.95

a = 20.6 − 3.95·6 = −3.1

ŷ = −3.1 + 3.95·x

x के लिए हल करें

x = (32 − (−3.1))/3.95 = 8.886

उत्तर

x = 8.886

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