CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आपको 4 वर्षों में €20 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 2% देता है, ब्याज मासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।

FV = €20 0002% / 12n = 4

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 7.2% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर €20 000 उधार लेते हैं, और हर महीने के अंत में €625 चुकाते हैं। ऋण चुकने तक कितने महीने लगते हैं (अंतिम किस्त छोटी हो सकती है)? किस्तों की संख्या N बताइए।

P = €20 000A = €6257.2% / 12

N = किस्तें

3.NPV और IRRमध्यम

€60 000 का निवेश वर्ष 1 से 4 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €30 000, €18 000, €23 000, €15 000। पूँजी की लागत 6% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 30 000CF₂ = 18 000CF₃ = 23 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €20 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €8 500, €13 000, €14 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 13 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 5% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 11 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 3.5% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 5%YTM = 3.5%n = 11

P = €

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

18 वर्ष की शेष परिपक्वता वाला एक बॉन्ड (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 8%) €1 156 में बिकता है। जारीकर्ता इसे 5 वर्षों में €1 080 की कॉल कीमत पर वापस बुला (कॉल कर) सकता है। कॉल तक प्रतिफल YTC प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 8%P = €1 156कॉल कीमत = €1 080कॉल तक 5 वर्ष

YTC = %

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €5 000 000 मूल्य की इक्विटी और €4 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 13%, कर-पूर्व ऋण लागत 3.5% और कर दर 28% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के शेयरों का बीटा उसके वर्तमान 0.25 ऋण-इक्विटी अनुपात पर 1.2 है। वह अपना ऋण-इक्विटी अनुपात 0.6 तक बढ़ाने की योजना बनाती है। कर दर 21%, जोखिम-मुक्त दर 2.5% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 4% है। परिवर्तन के बाद इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_L = 1.2D/E₁ = 0.25D/E₂ = 0.6T = 21%r_f = 2.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 49, 53, 17, 16, 15, 33, 26।

n = 7

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 60 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 524 से कम है?

μ = 500σ = 60x = 524

P =

11.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.15, 0.35, 0.15

σ =

12.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.2, 0.3Y = 0.5X + 20

σ_Y =

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0107 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0107

z =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.03 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 22.5 और मानक विचलन s = 20 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 25x̄ = 22.5s = 2095%t(24) = 2.064

ऊपरी सीमा =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 34 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 5 हो?

σ = 34E = 590%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 101 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 101s = 12n = 64

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो? मानक विचलन 20 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 20E = 290%

n =

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 11 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 11

ŷ =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 18464 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·4 = 48

वर्तमान मूल्य

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.083 = €18 463.56

उत्तर

PV = €18 463.56

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: N = 36 किस्तें

वार्षिकी सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें

i = 0.006

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.006/625 = 0.808

लघुगणक से हल करें

N = −ln(0.808)/ln(1.006) = 35.64

पूरी किस्तों तक ऊपर पूर्णांकित करें

35 पूरी किस्तें थोड़ा शेष छोड़ती हैं, जिसे अंतिम, छोटी किस्त चुका देती है।

N = 36

उत्तर

N = 36 किस्तें

3.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 15514 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 30 000/1.06 = 28 301.89

CF₂/(1 + 0.06)² = 18 000/1.124 = 16 019.94

CF₃/(1 + 0.06)³ = 23 000/1.191 = 19 311.24

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 15 000/1.262 = 11 881.40

जोड़ें

NPV = €15 514.47

उत्तर

NPV = €15 514.47

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 31.96 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(30%) = 603.10

NPV(35%) = −880.46

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 30 + 5·603.10/(603.10 − (−880.46)) = 32.03%

सटीक: NPV(31.96%) = 0 → IRR = 31.96%

उत्तर

IRR = 31.96%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1136 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

प्रति अवधि

C = €25.00, i = 0.0175, N = 22

कूपनों का वर्तमान मूल्य

€25.00·(1 − 0.6827)/0.0175 = €453.26

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

€1 000·0.6827 = €682.72

कीमत

P = €1 135.98

उत्तर

P = €1 135.98

प्रतिफल कूपन दर से कम है, इसलिए बॉन्ड प्रीमियम पर बिकता है।

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTC = 5.748 %

प्रतिफल का समीकरण

1156 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

संख्यात्मक रूप से हल करें

y = 5%: €1 192.57

y = 6%: €1 144.03

YTC = 5.748%

उत्तर

YTC = 5.748%

परिपक्वता तक प्रतिफल 6.504% है। प्रीमियम बॉन्ड के निवेशक उसके कॉल होने की अपेक्षा करते हैं, इसलिए कम कॉल तक प्रतिफल अधिक यथार्थवादी है।

7.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 8.342 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·13% + 0.4444·3.5%·(1 − 0.28) = 8.342%

उत्तर

WACC = 8.342%

8.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 8.408 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

बीटा को अनुत्तोलित करें

β_U = 1.2/(1 + 0.79·0.25) = 1.002

नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें

β_L = 1.002·(1 + 0.79·0.6) = 1.477

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.477·4% = 8.408%

उत्तर

r_e = 8.408%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 15.84

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 209/7 = 29.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 19.14² + 23.14² + (−12.86)² + (−13.86)² + (−14.86)² + 3.143² + (−3.857)² = 1505

मानक विचलन

s = √(1505/6) = 15.84

उत्तर

s = 15.84

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554

11.प्रायिकता

उत्तर: σ = 2.2

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 2·0.15 + 4·0.35 + 6·0.15 = 2.6

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.15 + 16·0.35 + 36·0.15 = 11.6

प्रसरण

Var(X) = 11.6 − 2.6² = 4.84

σ = √4.84 = 2.2

उत्तर

σ = 2.2

12.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 0.6021

X का फैलाव

μ = 2.5, Var(X) = 1.45, σ_X = 1.204

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |0.5|·1.204 = 0.6021

उत्तर

σ_Y = 0.6021

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·2.5 + 20 = 21.25।

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.3

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0107 = 0.9893

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9893 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.30

उत्तर

z = 2.30

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8554

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554

उत्तर

P = 0.8554

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 30.76

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 24, t = 2.064

त्रुटि सीमा

E = 2.064·20/√25 = 8.256

अंतराल

22.5 ± 8.256 → [14.24, 30.76]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 30.76

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 126

n ज्ञात करें

n = (1.645·34/5)² = 125.1

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 126

उत्तर

n = 126

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.6667

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (101 − 100)/1.5 = 0.6667

उत्तर

t = 0.6667

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 271

n ज्ञात करें

n = (1.645·20/2)² = 270.6

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 271

उत्तर

n = 271

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9717

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 428/5 = 85.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1793

निर्धारण गुणांक

r² = 396²/(90·1793) = 0.9717

उत्तर

r² = 0.9717

y के विचरण का लगभग 97.17% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 42.98

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 166/6 = 27.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

समाश्रयण रेखा

b = 268/70 = 3.829

a = 27.67 − 3.829·7 = 0.8667

ŷ = 0.8667 + 3.829·x

पूर्वानुमान

ŷ = 0.8667 + 3.829·11 = 42.98

उत्तर

ŷ = 42.98

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