CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आपको 3 वर्षों में €40 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 4% देता है, ब्याज त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।

FV = €40 0004% / 4n = 3

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 24 वर्षों तक हर वर्ष की शुरुआत में €2 000 जमा करते हैं, पहली जमा आज। खाता 4% प्रति वर्ष देता है। वर्ष 24 के अंत में खाते में कितना है? FV ज्ञात कीजिए।

A = €2 000i = 4%n = 24

FV = €

3.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €500 000 है। यह पहले वर्ष के अंत में €55 000 उत्पन्न करती है, और फिर नकदी प्रवाह हमेशा के लिए 2% प्रति वर्ष बढ़ता है। पूँजी की लागत 12% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात कीजिए।

C₀ = €500 000CF₁ = €55 000g = 2%r = 12%

NPV = €

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €50 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €32 500, €26 500, €17 500 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −50 000CF₁ = 32 500CF₂ = 26 500CF₃ = 17 500

IRR = %

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

आप 3 वर्ष की शेष परिपक्वता वाला एक बॉन्ड (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 3%) तब खरीदते हैं जब उसका परिपक्वता तक प्रतिफल 4% है। एक वर्ष बाद, पहला कूपन मिलने के ठीक बाद, आप उसे तब बेचते हैं जब परिपक्वता तक प्रतिफल 4.5% है। अपनी धारण अवधि प्रतिफल HPR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 3%n = 3y₀ = 4%y₁ = 4.5%

HPR = %

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 2% का वार्षिक कूपन दो अर्धवार्षिक भुगतानों में देता है और 4 वर्षों में परिपक्व होता है। यह €828 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM वार्षिक दर (अर्धवार्षिक प्रतिफल का दोगुना) के रूप में प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 2% (2×)n = 4P = €828

YTM = %

7.CAPM और WACCमध्यम

1.6 बीटा वाले एक शेयर का आवश्यक प्रतिफल 13.1% है। जोखिम-मुक्त दर 3.5% है। CAPM किस अपेक्षित बाज़ार प्रतिफल r_m का संकेत देता है?

β = 1.6r_e = 13.1%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी की इक्विटी का बाज़ार मूल्य €5 000 000 और इक्विटी की लागत 9% है। इसके ऋण में 5 000 बॉन्ड हैं (अंकित मूल्य €1 000, वार्षिक कूपन 5%, 8 वर्ष की परिपक्वता) जो प्रत्येक €909 पर कारोबार करते हैं। कर दर 20% है। बॉन्डों के परिपक्वता तक प्रतिफल को कर-पूर्व ऋण लागत मानते हुए WACC ज्ञात कीजिए।

E = €5 000 000r_e = 9%बॉन्ड: 5 000 × €909कूपन = 5%n = 8T = 20%

WACC = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 43, 44, 24, 55, 15, 38।

n = 6

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 62 से कम है?

μ = 60σ = 5x = 62

P =

11.प्रायिकतामध्यम

12 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 12k = 4

N =

12.प्रायिकताकठिन

9 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.4

P =

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

थैलों के भार माध्य 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 242.25 और 256.25 g के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 250σ = 5x₁ = 242.25x₂ = 256.25

P =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 80% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक80%

x = अंक

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 83 और मानक विचलन s = 7.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 83s = 7.590%t(9) = 1.833

E =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.2 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.025 हो?

p ≈ 0.2E = 0.02595%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

64 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 501.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 501.8s = 20n = 64

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 76.9 है। समष्टि मानक विचलन 4 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 76.9σ = 4n = 3690%

U =

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 15Σy = 309Σx² = 55Σy² = 19295Σxy = 970

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 3.5

ŷ =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 35498 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = 0.04/4 = 0.01

N = 4·3 = 12

वर्तमान मूल्य

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.127 = €35 497.97

उत्तर

PV = €35 497.97

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 81292 €

साधारण वार्षिकी गुणक

((1 + 0.04)²⁴ − 1)/0.04 = 39.08

देय वार्षिकी

हर जमा एक वर्ष अधिक निवेशित रहती है।

FV = 2 000·39.08·1.04 = €81 291.82

उत्तर

FV = €81 291.82

3.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 50000 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

नकदी प्रवाहों का मूल्य

PV = 55 000/(0.12 − 0.02) = 550 000.00

NPV

NPV = 550 000.00 − 500 000 = €50 000.00

उत्तर

NPV = €50 000.00

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

4.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 27.86 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(25%) = 1 920.00

NPV(30%) = −1 354.12

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 25 + 5·1 920.00/(1 920.00 − (−1 354.12)) = 27.93%

सटीक: NPV(27.86%) = 0 → IRR = 27.86%

उत्तर

IRR = 27.86%

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: HPR = 3.051 %

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

क्रय मूल्य

C = €30.00, i = 0.04, N = 3

€30.00·(1 − 0.889)/0.04 + €1 000·0.889 = €83.25 + €889.00 = €972.25

विक्रय मूल्य

C = €30.00, i = 0.045, N = 2

€30.00·(1 − 0.9157)/0.045 + €1 000·0.9157 = €56.18 + €915.73 = €971.91

धारण अवधि प्रतिफल

HPR = (30 + 971.91 − 972.25)/972.25 = 3.051%

उत्तर

HPR = 3.051%

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 7.005 %

प्रति अवधि

C = €10.00, N = 8

संख्यात्मक रूप से हल करें

i = 3.502% प्रति अर्ध-वर्ष

YTM

YTM = 2·3.502% = 7.005%

उत्तर

YTM = 7.005%

7.CAPM और WACC

उत्तर: r_m = 9.5 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

बाज़ार जोखिम प्रीमियम

r_m − r_f = (13.1% − 3.5%)/1.6 = 6%

बाज़ार प्रतिफल

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

उत्तर

r_m = 9.5%

8.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 7.188 %

ऋण की लागत (YTM)

909 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 6.494%

बाज़ार मूल्य

D = 5 000·€909 = €4 545 000

V = €9 545 000, E/V = 0.5238, D/V = 0.4762

WACC

WACC = 0.5238·9% + 0.4762·6.494%·(1 − 0.2) = 7.188%

उत्तर

WACC = 7.188%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.57

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 219/6 = 36.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 6.5² + 7.5² + (−12.5)² + 18.5² + (−21.5)² + 1.5² = 1062

मानक विचलन

s = √(1062/5) = 14.57

उत्तर

s = 14.57

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554

11.प्रायिकता

उत्तर: N = 495

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

उत्तर

N = 495

12.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.07054

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.6⁹ = 0.01008

P(X = 1) = 9·0.4·0.6⁸ = 0.06047

जोड़ें

P = 0.01008 + 0.06047 = 0.07054

उत्तर

P = 0.07054

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8338

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (242.25 − 250)/5 = −1.55

z₂ = (256.25 − 250)/5 = 1.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.25) − Φ(−1.55) = 0.8944 − 0.06057 = 0.8338

उत्तर

P = 0.8338

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 112.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.8

सारणी से z

z ≈ 0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 अंक

उत्तर

x = 112.6 अंक

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.347

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 1.833

त्रुटि सीमा

E = 1.833·7.5/√10 = 4.347

उत्तर

E = 4.347

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 984

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.2·0.8/0.025² = 983.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 984

उत्तर

n = 984

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.72

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (501.8 − 500)/2.5 = 0.72

उत्तर

t = 0.72

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 78

त्रुटि सीमा

E = 1.645·4/√36 = 1.097

अंतराल सीमा

U = 76.9 + 1.097 = 78

उत्तर

U = 78

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9644

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 970 − 15·309/5 = 43

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 19295 − 309²/5 = 198.8

सहसंबंध गुणांक

r = 43/√(10·198.8) = 0.9644

उत्तर

r = 0.9644

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 21.2

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

समाश्रयण रेखा

b = −24/10 = −2.4

a = 22.4 − (−2.4)·3 = 29.6

ŷ = 29.6 − 2.4·x

पूर्वानुमान

ŷ = 29.6 + (−2.4)·3.5 = 21.2

उत्तर

ŷ = 21.2

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