CFA Level I मात्रात्मक विधियाँ और निश्चित आय अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक क्रेडिट कार्ड 25% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर लेता है, मासिक चक्रवृद्धि। प्रभावी वार्षिक दर EAR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 25%m = 12

EAR = %

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 8 वर्षों तक हर महीने के अंत में €150 बचाते हैं। खाता प्रति वर्ष 4.8% देता है, मासिक चक्रवृद्धि। अंत में आपकी कितनी बचत होगी? FV ज्ञात करें।

A = €1504.8% / 12N = 96

FV = €

3.NPV और IRRमध्यम

€75 000 का निवेश वर्ष 1 से 3 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €24 000, €19 000, €17 000। पूँजी की लागत 10% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 19 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत आज €200 000 है। इसका नकदी प्रवाह वर्ष 1 के अंत में €33 500 है और वर्ष 6 के अंत में अंतिम नकदी प्रवाह तक 4% प्रति वर्ष बढ़ता है। पूँजी की लागत 12% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात कीजिए।

C₀ = €200 000CF₁ = €33 500g = 4%n = 6r = 12%

NPV = €

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 7% का वार्षिक कूपन देता है और 6 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 9% से 10.5% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 7%n = 6y₁ = 9%y₂ = 10.5%

ΔP = €

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य और 7% वार्षिक कूपन वाला एक बॉन्ड 3 वर्ष में परिपक्व होता है और €1 055 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 7%n = 3P = €1 055

YTM = %

7.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €3 000 000 मूल्य की इक्विटी और €3 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 9%, कर-पूर्व ऋण लागत 6% और कर दर 28% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €3 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के पास €40.00 प्रति शेयर की दर से 1 000 000 शेयर और €980 प्रति बॉन्ड पर कारोबार कर रहे 5 000 बॉन्ड है। कर-पूर्व ऋण लागत 7% और कर दर 25.8% है। शेयर का बीटा 1.1, जोखिम-मुक्त दर 2.5% और बाज़ार प्रतिफल 8.5% है। WACC ज्ञात कीजिए।

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

9.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 42, 12, 53, 37, 56।

n = 5

s =

10.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 75 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 612.5 से कम है?

μ = 500σ = 75x = 612.5

P =

11.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 7 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7

P =

12.प्रायिकताकठिन

10 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.7 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.7

P =

13.प्रसामान्य बंटनमध्यम

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 16 का कुल द्रव्यमान 1456 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1456 kg

P =

14.प्रसामान्य बंटनकठिन

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 80.5 और मानक विचलन s = 7.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 80.5s = 7.595%t(12) = 2.179

ऊपरी सीमा =

16.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 21 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 21E = 2.599%

n =

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 122.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 122.3s = 20n = 36

t =

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 200 बनाम H₁: μ > 200 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 36 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 15 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 207.5 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 200μ = 207.5σ = 15n = 36α = 0.01

β = %

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6

r =

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 66) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4.5, 66)

e =

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: EAR = 28.07 %

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

प्रति अवधि दर

r/m = 0.25/12 = 0.02083

एक वर्ष में चक्रवृद्धि करें

EAR = (1 + 0.02083)¹² − 1 = 1.281 − 1 = 28.07%

उत्तर

EAR = 28.07%

जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है तो EAR हमेशा नाममात्र दर से अधिक होती है।

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 17513 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·8 = 96

जमाओं का भविष्य मूल्य

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.467 − 1)/0.004 = €17 513.30

उत्तर

FV = €17 513.30

आपने खुद €14 400 जमा किया; बाकी ब्याज है।

3.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −24707 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 24 000/1.1 = 21 818.18

CF₂/(1 + 0.1)² = 19 000/1.21 = 15 702.48

CF₃/(1 + 0.1)³ = 17 000/1.331 = 12 772.35

जोड़ें

NPV = €−24 706.99

उत्तर

NPV = €−24 706.99

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

4.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −49690 €

बढ़ती वार्षिकी का वर्तमान मूल्य

((1.04)/(1.12))⁶ = 0.641

PV = 33 500/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.641) = 150 310.32

NPV

NPV = 150 310.32 − 200 000 = −€49 689.68

उत्तर

NPV = −€49 689.68

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

5.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = −60.51 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.09, N = 6

€70.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €314.01 + €596.27 = €910.28

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €70.00, i = 0.105, N = 6

€70.00·(1 − 0.5493)/0.105 + €1 000·0.5493 = €300.45 + €549.32 = €849.77

परिवर्तन

ΔP = 849.77 − 910.28 = −€60.51

उत्तर

ΔP = −€60.51

6.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 4.981 %

प्रतिफल का समीकरण

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

संख्यात्मक रूप से हल करें

P(4%) = €1 083.25, P(5%) = €1 054.46

YTM = 4.981%

उत्तर

YTM = 4.981%

7.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 6.66 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·6%·(1 − 0.28) = 6.66%

उत्तर

WACC = 6.66%

8.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 8.674 %

बाज़ार मूल्य

E = 1 000 000·€40.00 = €40 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 2.5% + 1.1·6% = 9.1%

भार

V = €44 900 000, E/V = 0.8909, D/V = 0.1091

WACC

WACC = 0.8909·9.1% + 0.1091·7%·(1 − 0.258) = 8.674%

उत्तर

WACC = 8.674%

9.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.48

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 200/5 = 40

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 2² + (−28)² + 13² + (−3)² + 16² = 1222

मानक विचलन

s = √(1222/4) = 17.48

उत्तर

s = 17.48

10.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332

11.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.7209

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

उत्तर

P = 0.7209

12.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.0001437

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.3¹⁰ = 5.905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0.7·0.3⁹ = 0.0001378

जोड़ें

P = 5.905 × 10⁻⁶ + 0.0001378 = 0.0001437

उत्तर

P = 0.0001437

13.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

मानकीकृत करें

z = (1456 − 1360)/48 = 2

प्रायिकता

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

14.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389

15.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 85.03

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 2.179

त्रुटि सीमा

E = 2.179·7.5/√13 = 4.533

अंतराल

80.5 ± 4.533 → [75.97, 85.03]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 85.03

16.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 469

n ज्ञात करें

n = (2.576·21/2.5)² = 468.2

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 469

उत्तर

n = 469

17.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 0.69

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (122.3 − 120)/3.333 = 0.69

उत्तर

t = 0.69

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

18.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 25.02 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 15/√36 = 2.5

x̄_c = 200 + 2.326·2.5 = 205.8

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (205.8 − 207.5)/2.5 = −0.674

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −0.674) = 74.98%

β = 100% − 74.98% = 25.02%

उत्तर

β = 25.02%

19.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.991

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 157.3

सहसंबंध गुणांक

r = 104/√(70·157.3) = 0.991

उत्तर

r = 0.991

20.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −3.8

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 310/5 = 62

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

समाश्रयण रेखा

b = 52/10 = 5.2

a = 62 − 5.2·3 = 46.4

ŷ = 46.4 + 5.2·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 46.4 + 5.2·4.5 = 69.8

अवशिष्ट

e = 66 − 69.8 = −3.8

उत्तर

e = −3.8

बिंदु रेखा के नीचे है।

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