परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z = 3 − j2 को चरघातांकी रूप r·e^jθ में लिखें। θ रेडियन में दें, −π और π के बीच।

z = 3 − j2

θ = rad

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

zⁿ = w के मूल, n = 3 और w = 64∠−90° के साथ, z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n) हैं, k = 0, 1, 2। z₀ का काल्पनिक भाग ज्ञात करें।

w = 64∠−90°n = 3k = 0

Im(z₀) =

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। आपूर्ति से ली गई सक्रिय शक्ति P ज्ञात कीजिए।

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 22 µF

P = W

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_C = V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ मोटर 240 V आपूर्ति से 0.6 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 11 kW लेती है। लाइन धारा I ज्ञात कीजिए।

P = 11 kWpf = 0.6V = 240 V

I = A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 230 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 30 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.95 तक बढ़ाता है। संधारित्र द्वारा दी जाने वाली प्रतिघाती शक्ति Q_C ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

2.2 nF संधारित्र को 10 V तक आवेशित करके एक आदर्श 220 µH प्रेरक के साथ दोलन कराया जाता है। जिस क्षण संधारित्र वोल्टता 2 V हो, उस क्षण प्रेरक में संचित ऊर्जा W_L nJ में ज्ञात कीजिए।

C = 2.2 nFV₀ = 10 Vv_C = 2 V

W_L = nJ

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

एक समानांतर टैंक परिपथ 10 nF संधारित्र और 4.7 mH कुंडली से बना है, जिसका वाइंडिंग प्रतिरोध 2 Ω है। अनुनाद पर वह प्रतिरोधक की तरह व्यवहार करता है, उसका गतिक प्रतिरोध R_D = L/(C·r) है। R_D kΩ में ज्ञात कीजिए।

L = 4.7 mHC = 10 nFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक त्रि-फ़ेज़ प्रेरण मोटर पूर्ण भार पर 110 kW यांत्रिक निर्गत शक्ति देती है। इस भार पर इसकी दक्षता 94% और शक्ति गुणक 0.85 पश्चगामी है। आपूर्ति की लाइन-से-लाइन वोल्टता 415 V है। लाइन धारा I_L ज्ञात कीजिए।

P_out = 110 kWη = 94%cos φ = 0.85V_L = 415 V

I_L = A

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 250 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति Q_C kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 250 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 1 ms पर प्रेरक पर वोल्टता v_L ज्ञात कीजिए।

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 2 V है। v_C को 5 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 12 VR = 6.8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता V_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 3 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VI_s = 4 AR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 50 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 20 mH और C = 0.22 µF के साथ। −3 dB बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 50 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

BW = Hz

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 46/(s(s + 3)(s + 8)) है। लब्धि सीमा GM dB में ज्ञात कीजिए।

L(s) = 46/(s(s + 3)(s + 8))

GM = dB

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: θ = −0.588 rad

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

मापांक

r = √(9 + 4) = 3.606

रेडियन में कोणांक

θ = −33.69° = −33.69·π/180 = −0.588 rad

चरघातांकी रूप

z = 3.606·e^−j0.588

उत्तर

θ = −0.588 rad

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: Im(z₀) = −2

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

मूलों का मापांक

64^1/3 = 4

मूल का कोणांक

θ₀ = (−90° + 360°·0)/3 = −30°

आयताकार रूप

z₀ = 4·(cos −30° + j sin −30°) = 3.464 − j2

Im(z₀) = −2

उत्तर

Im(z₀) = −2

3 मूल त्रिज्या 4 के वृत्त पर स्थित हैं, 120° के अंतर पर।

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: P = 25.06 W

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = 157.1 Ω, X_C = 14.47 Ω

प्रतिबाधा

|Z| = √(60² + (142.6)²) = 154.7 Ω

सक्रिय शक्ति

प्रेरक और संधारित्र केवल ऊर्जा संचित करते और लौटाते हैं; सारी सक्रिय शक्ति प्रतिरोधक अवशोषित करता है।

I = 100/154.7 = 0.6463 A

P = I²·R = 0.6463²·60 = 25.06 W

उत्तर

P = 25.06 W

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 198.4 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (31)²) = 36.89 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 230/36.89 = 6.234 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 6.234·31.83 = 198.4 V

उत्तर

V_C = 198.4 V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I = 76.39 A

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

लाइन धारा

शक्ति का केवल सक्रिय भाग कार्य करता है, इसलिए शक्ति गुणक से भाग दें।

I = P/(V·cos φ) = 11000/(240·0.6) = 76.39 A

उत्तर

I = 76.39 A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: Q_C = 25.21 kvar

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(49.46°) = 35.07 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18.19°) = 9.861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25.21 kvar

उत्तर

Q_C = 25.21 kvar

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: W_L = 105.6 nJ

LC अनुनाद: आवेशित संधारित्र को प्रेरक से जोड़ने पर वह धारा चलती है जो उसे उलटी दिशा में आवेशित करती है: ऊर्जा C के विद्युत क्षेत्र (½Cv²) और L के चुंबकीय क्षेत्र (½Li²) के बीच प्राकृतिक आवृत्ति f₀ = 1/(2π√(LC)) पर दोलन करती है। प्रतिरोध के बिना कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है, इसलिए शिखर धारा I_max = V₀√(C/L) है। एक आवर्त T = 1/f₀ है; ऊर्जा उसके चौथाई समय में C से L तक जाती है।

कुल ऊर्जा

½·2.2 × 10⁻⁹·10² = 1.1 × 10⁻⁷ J

संधारित्र में बची ऊर्जा

½·2.2 × 10⁻⁹·2² = 4.4 × 10⁻⁹ J

प्रेरक में ऊर्जा

W_L = 1.056 × 10⁻⁷ J = 105.6 nJ

उत्तर

W_L = 105.6 nJ

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: R_D = 235 kΩ

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

गतिक प्रतिरोध

R_D = 0.0047/(1 × 10⁻⁸·2) = 235000 Ω = 235 kΩ

Q से जाँच

Q = (1/r)·√(L/C) = 342.8, Q²·r = 235000 Ω

उत्तर

R_D = 235 kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: I_L = 191.5 A

विद्युत निवेश शक्ति

P_in = P_out/η = 110/0.94 = 117 kW

लाइन धारा

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 117021/(√3·415·0.85) = 191.5 A

उत्तर

I_L = 191.5 A

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: Q_C = 81 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.92) = 250·0.426 = 106.5 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 81 kvar

उत्तर

Q_C = 81 kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_L = 3.297 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 33 mH / 50 Ω = 0.66 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0.3 A

प्रेरक वोल्टता

t = 0 पर पूरी आपूर्ति वोल्टता प्रेरक पर होती है; फिर वह शून्य तक घटती है।

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/0.66 = 3.297 V

उत्तर

v_L = 3.297 V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 53.36 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 22 µF = 149.6 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

5 = 12 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5 − 12)/(2 − 12) = 0.7

t = τ·ln((2 − 12)/(5 − 12)) = 149.6·ln(1.429) = 53.36 ms

उत्तर

t = 53.36 ms

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: V_th = 9.231 V

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 2 = 5.077 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·8/(5+8) = 9.231 V

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = −3.333 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 5·30/(5+30) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 30 = 34.29 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12.86 + (−4)·4.286 = −4.286 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4.286 + (−4)·30 = −124.3 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −124.3/(34.29 + 3) = −3.333 A

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: BW = 397.9 Hz

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

अनुनादी आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2 × 10⁻⁷) = 15076 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2399 Hz

बैंडविड्थ

BW = R/L = 50/0.02 = 2500 rad/s = 397.9 Hz

उत्तर

BW = 397.9 Hz

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: GM = 15.18 dB

कला क्रॉसओवर

(ω/3)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·8) = 4.899 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 64)) = K/(3·8·(3 + 8)) = K/264

लब्धि सीमा

GM = 20·log₁₀(264/46) = 15.18 dB

उत्तर

GM = 15.18 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

मापांक

रेडियन में कोणांक

चरघातांकी रूप

उत्तर

मूलों का मापांक

मूल का कोणांक

आयताकार रूप

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

सक्रिय शक्ति

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

संधारित्र पर वोल्टता

उत्तर

लाइन धारा

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

कुल ऊर्जा

संधारित्र में बची ऊर्जा

प्रेरक में ऊर्जा

उत्तर

गतिक प्रतिरोध

Q से जाँच

उत्तर

विद्युत निवेश शक्ति

लाइन धारा

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

प्रेरक वोल्टता

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

समय के लिए हल करें

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

अनुनादी आवृत्ति

बैंडविड्थ

उत्तर

कला क्रॉसओवर

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

लब्धि सीमा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें