परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z₁ = 3∠−35° और z₂ = 0.5∠80° दिए हैं; w = z₁·z₂ का वास्तविक भाग ज्ञात करें।

z₁ = 3∠−35°z₂ = 0.5∠80°

Re(w) =

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

z² − 3z + 4.5 = 0 हल करें। मूल a ± jb हैं; वास्तविक भाग a ज्ञात करें।

p = −3q = 4.5

a =

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 10 µF

I = A

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 20 Ω, L = 10 mH और C = 10 µF है। अनुनाद पर इसका गुणता गुणक Q ज्ञात कीजिए।

R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF

Q =

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

प्रतिबाधा Z = 16 + j12 Ω वाला एक भार 240 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। आभासी शक्ति S ज्ञात कीजिए।

V = 240 VZ = 16 + j12 Ω

S = VA

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक 200 kVA एकल-फ़ेज़ ट्रांसफ़ॉर्मर 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 73 kW का भार आपूर्ति करता है। ट्रांसफ़ॉर्मर के अपनी kVA रेटिंग तक पहुँचने से पहले प्रतिरोधी (एकांक शक्ति गुणक) भार के रूप में कितनी अतिरिक्त सक्रिय शक्ति ΔP जोड़ी जा सकती है?

S_max = 200 kVAP₁ = 73 kWpf₁ = 0.65

ΔP = kW

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 5 Ω, L = 2.2 mH और C = 470 nF है। इसकी बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 5 ΩL = 2.2 mHC = 470 nF

BW = Hz

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

एक समानांतर टैंक परिपथ 4.7 nF संधारित्र और 100 µH कुंडली से बना है, जिसका वाइंडिंग प्रतिरोध 2 Ω है। अनुनाद पर वह प्रतिरोधक की तरह व्यवहार करता है, उसका गतिक प्रतिरोध R_D = L/(C·r) है। R_D kΩ में ज्ञात कीजिए।

L = 100 µHC = 4.7 nFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 208 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली आपूर्ति से 20 A की लाइन धारा लेता है। शक्ति गुणक 0.88 पश्चगामी है। भार द्वारा ली गई कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 208 VI_L = 20 Acos φ = 0.88

P = kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 415 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.78 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 250 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.95 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Δ में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 250 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 50 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 22 µFt = 50 ms

v_C = V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R₂ को शॉर्ट कर देता है। t = 20 ms पर प्रेरक धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩL = 47 mHt = 20 ms

i = A

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध R_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 30 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 10 kΩ, C = 47 nF है। 68 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |v_out/v_in| ज्ञात कीजिए।

R = 10 kΩC = 47 nFf = 68 Hz

|H| = dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 98/(s(s + 6)(s + 7)) है। लब्धि सीमा GM dB में ज्ञात कीजिए।

L(s) = 98/(s(s + 6)(s + 7))

GM = dB

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: Re(w) = 1.061

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

w का मापांक और कोणांक

|w| = 3 · 0.5 = 1.5

θ = −35° + 80° = 45°

आयताकार रूप

Re(w) = 1.5·cos(45°) = 1.061

Im(w) = 1.5·sin(45°) = 1.061

Re(w) = 1.061

उत्तर

Re(w) = 1.061

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: a = 1.5

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

विविक्तकर

p² − 4q = 9 − 18 = −9 < 0

द्विघात सूत्र

z = (3 ± j√9)/2 = 1.5 + j1.5, 1.5 − j1.5

उत्तर

a = 1.5

उत्तर

a = 1.5

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.04899 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−239.8)²) = 244.9 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 12/244.9 = 0.04899 A

उत्तर

I = 0.04899 A

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: Q = 1.581

अनुनादी आवृत्ति

f₀ = 1/(2π·√(0.01·10·10⁻⁶)) = 503.3 Hz

गुणता गुणक

Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(10·10⁻⁶)) = 1.581

उत्तर

Q = 1.581

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: S = 2880 VA

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

धारा

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 240/20 = 12 A

आभासी शक्ति

S = V·I = 240·12 = 2880 VA

उत्तर

S = 2880 VA

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: ΔP = 107.9 kW

मौजूदा भार की प्रतिघाती शक्ति

Q₁ = 73·tan(arccos 0.65) = 85.35 kvar

अधिकतम कुल सक्रिय शक्ति

पूरी रेटिंग पर S = S_max, और प्रतिरोधी भार से Q नहीं बदलता।

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 85.35²) = 180.9 kW

अतिरिक्त सक्रिय शक्ति

ΔP = 180.9 − 73 = 107.9 kW

उत्तर

ΔP = 107.9 kW

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: BW = 361.7 Hz

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

rad/s में बैंडविड्थ

R/L = 5/0.0022 = 2273 rad/s

Hz में बैंडविड्थ

BW = 2273/(2π) = 361.7 Hz = 361.7 Hz

उत्तर

BW = 361.7 Hz

f₀ = 4.949 kHz के साथ इससे Q = 13.68 मिलता है।

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: R_D = 10.64 kΩ

गतिक प्रतिरोध

R_D = 1 × 10⁻⁴/(4.7 × 10⁻⁹·2) = 10638 Ω = 10.64 kΩ

Q से जाँच

Q = (1/r)·√(L/C) = 72.93, Q²·r = 10638 Ω

उत्तर

R_D = 10.64 kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 6.341 kW

आभासी शक्ति

S = √3·V_L·I_L = √3·208·20 = 7.205 kVA

सक्रिय शक्ति

P = S·cos φ = 7.205·0.88 = 6.341 kW

उत्तर

P = 6.341 kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 607.9 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 118.4 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Δ बैंक में हर संधारित्र दो लाइनों के बीच जुड़ा होता है।

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39466/(377·415²) = 607.9 µF

उत्तर

C_ph = 607.9 µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 2.489 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

R_th के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·2.2/(4.7 + 2.2) = 1.499 kΩ

v_C(∞) = 10·2.2/(4.7 + 2.2) = 3.188 V

समय स्थिरांक

τ = R_th·C = 1.499·22 = 32.97 ms

आवेशन वक्र

v_C(t) = 3.188·(1 − e^−50/32.97) = 2.489 V

उत्तर

v_C = 2.489 V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 1.809 A

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।

i(0) = 10/(5 + 20) = 0.4 A

i(∞) = 10/5 = 2 A

τ = L/R = 47/5 = 9.4 ms

i(t) = 2 + (0.4 − 2)·e^−t/τ

दिए गए समय पर धारा

i(20) = 2 + (−1.6)·e^−20/9.4 = 1.809 A

उत्तर

i = 1.809 A

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: R_th = 8.667 Ω

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.667 + 6 = 8.667 Ω

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = 1.456 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 30 = 37.5 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.5 + 2.5·7.5 = 23.25 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23.25 + 2.5·30 = 98.25 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 98.25/(37.5 + 30) = 1.456 A

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |H| = −14.12 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·4.7 × 10⁻⁸) = 2128 rad/s

f_c = 338.6 Hz → f/f_c = 68/338.6 = 0.2008

लब्धि

|H| = 0.2008/√(1 + 0.2008²) = 0.1969

20·log₁₀(0.1969) = −14.12 dB

उत्तर

|H| = −14.12 dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: GM = 14.92 dB

कला क्रॉसओवर

(ω/6)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·7) = 6.481 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 49)) = K/(6·7·(6 + 7)) = K/546

लब्धि सीमा

GM = 20·log₁₀(546/98) = 14.92 dB

उत्तर

GM = 14.92 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

w का मापांक और कोणांक

आयताकार रूप

उत्तर

विविक्तकर

द्विघात सूत्र

उत्तर

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

अनुनादी आवृत्ति

गुणता गुणक

उत्तर

धारा

आभासी शक्ति

उत्तर

मौजूदा भार की प्रतिघाती शक्ति

अधिकतम कुल सक्रिय शक्ति

अतिरिक्त सक्रिय शक्ति

उत्तर

rad/s में बैंडविड्थ

Hz में बैंडविड्थ

उत्तर

गतिक प्रतिरोध

Q से जाँच

उत्तर

आभासी शक्ति

सक्रिय शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

प्रति फ़ेज़ धारिता

उत्तर

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

समय स्थिरांक

आवेशन वक्र

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

दिए गए समय पर धारा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

कोना आवृत्ति

लब्धि

उत्तर

कला क्रॉसओवर

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

लब्धि सीमा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें