परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

संख्या z = 2·e^−j1 का कोण रेडियन में है। इसका काल्पनिक भाग b ज्ञात कीजिए।

r = 2θ = −1 rad

b =

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

zⁿ = w के मूल, n = 3 और w = 8∠135° के साथ, z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n) हैं, k = 0, 1, 2। z₂ का काल्पनिक भाग ज्ञात करें।

w = 8∠135°n = 3k = 2

Im(z₂) =

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF

φ = °

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF

V_C = V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ मोटर 240 V आपूर्ति से 0.6 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 6 kW लेती है। इसके द्वारा ली गई प्रतिघाती शक्ति Q ज्ञात कीजिए।

P = 6 kWpf = 0.6V = 240 V

Q = kvar

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 400 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 10 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.95 तक बढ़ाता है। नई लाइन धारा I_new ज्ञात कीजिए।

P = 10 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 5 kHz पर अनुनाद करता है और Q = 3 है। निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति f₁ kHz में यथातथ ज्ञात कीजिए।

f₀ = 5 kHzQ = 3

f₁ = kHz

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

10 Ω कुल प्रतिरोध, 20 kHz अनुनाद आवृत्ति और 1 kHz बैंडविड्थ वाला एक श्रेणी RLC फ़िल्टर अभिकल्पित कीजिए। धारिता C nF में ज्ञात कीजिए।

R = 10 Ωf₀ = 20 kHzBW = 1 kHz

C = nF

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

प्रति फ़ेज़ 16 + j12 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Δ-संयोजित भार 415 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 415 VZ = 16 + j12 Ω प्रति फ़ेज़

P = kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 50 Hz आपूर्ति से 0.78 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 150 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.95 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति Q_C kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 150 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 250 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 250 ms

v_C = V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 400 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 100 µFt = 400 ms

v_C = V

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

a–b के बीच भार R_L = 20 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 3 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 22 kΩ, C = 47 nF है। 77 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |v_out/v_in| ज्ञात कीजिए।

R = 22 kΩC = 47 nFf = 77 Hz

|H| = dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 0.2/(s(s + 1)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ω_c ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।

L(s) = 0.2/(s(s + 1))

ω_c = rad/s

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: b = −1.683

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

यूलर का सूत्र

z = 2·(cos −1 + j sin −1)

घटक (रेडियन)

a = 2·cos −1 = 1.081

b = 2·sin −1 = −1.683

b = −1.683

उत्तर

b = −1.683

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: Im(z₂) = −1.932

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

मूलों का मापांक

8^1/3 = 2

मूल का कोणांक

θ₂ = (135° + 360°·2)/3 = 285° → −75°

आयताकार रूप

z₂ = 2·(cos −75° + j sin −75°) = 0.5176 − j1.932

Im(z₂) = −1.932

उत्तर

Im(z₂) = −1.932

3 मूल त्रिज्या 2 के वृत्त पर स्थित हैं, 120° के अंतर पर।

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = 80.36 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (117.7)²) = 119.4 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(117.7/20) = 80.36°

उत्तर

φ = 80.36°

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 134.2 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−129)²) = 129.4 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 120/129.4 = 0.9276 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 0.9276·144.7 = 134.2 V

उत्तर

V_C = 134.2 V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: Q = 8 kvar

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

कोण

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

प्रतिघाती शक्ति

Q = P·tan φ = 6·1.333 = 8 kvar

उत्तर

Q = 8 kvar

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I_new = 26.32 A

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45.57°) = 10.2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(18.19°) = 3.287 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6.915 kvar

नई लाइन धारा

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(400·0.95) = 26.32 A

उत्तर

I_new = 26.32 A

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: f₁ = 4.236 kHz

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

वर्गमूल पद

√(1 + 1/(4·3²)) = 1.014

निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति

f₁ = 5000·(1.014 − 0.1667) = 4236 Hz = 4.236 kHz

उत्तर

f₁ = 4.236 kHz

ऊपरी आवृत्ति f₂ = 5.902 kHz है; जाँच: f₂ − f₁ = 1.667 kHz = f₀/Q।

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: C = 39.79 nF

बैंडविड्थ से प्रेरकत्व

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·1000) = 0.001592 H

अनुनाद आवृत्ति से धारिता

C = 1/((2π·20000)²·0.001592) = 3.979 × 10⁻⁸ F = 39.79 nF

उत्तर

C = 39.79 nF

Q = f₀/BW = 20।

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 20.67 kW

फ़ेज़ वोल्टता

V_ph = V_L = 415 V

फ़ेज़ धारा

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 415/20 = 20.75 A

कुल वास्तविक शक्ति

हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।

P = 3·I_ph²·R = 3·20.75²·16 = 20.67 kW

उत्तर

P = 20.67 kW

जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.8, और √3·V_L·I_L·cos φ से वही शक्ति मिलती है।

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: Q_C = 71.04 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 150·tan(acos 0.78) = 150·0.8023 = 120.3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71.04 kvar

उत्तर

Q_C = 71.04 kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 13.42 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

R_th के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(6.8 + 10) = 14.29 V

समय स्थिरांक

τ = R_th·C = 4.048·22 = 89.05 ms

आवेशन वक्र

v_C(t) = 14.29·(1 − e^−250/89.05) = 13.42 V

उत्तर

v_C = 13.42 V

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 3.521 V

प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता

स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।

v_C(0) = 10·4.7/(1 + 4.7) = 8.246 V

स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक

τ = R₂·C = 4.7·100 = 470 ms

निरावेशन

v_C(t) = 8.246·e^−400/470 = 3.521 V

उत्तर

v_C = 3.521 V

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = 0.1062 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 8 = 12.29 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·6/(15+6) = 3.429 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3.429/(12.29 + 20) = 0.1062 A

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = −3 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 2 = 7.714 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + (−5)·5.714 = −22.14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −22.14 + (−5)·2 = −32.14 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −32.14/(7.714 + 3) = −3 A

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |H| = −6.986 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·4.7 × 10⁻⁸) = 967.1 rad/s

f_c = 153.9 Hz → f/f_c = 77/153.9 = 0.5003

लब्धि

|H| = 0.5003/√(1 + 0.5003²) = 0.4474

20·log₁₀(0.4474) = −6.986 dB

उत्तर

|H| = −6.986 dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: ω_c = 0.1963 rad/s

लब्धि क्रॉसओवर

ω⁴ + 1ω² − 0.04 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·0.04))/2 = 0.03852

ω_c = 0.1963 rad/s

उत्तर

ω_c = 0.1963 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

यूलर का सूत्र

घटक (रेडियन)

उत्तर

मूलों का मापांक

मूल का कोणांक

आयताकार रूप

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

कलान्तर कोण

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

संधारित्र पर वोल्टता

उत्तर

कोण

प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई लाइन धारा

उत्तर

वर्गमूल पद

निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति

उत्तर

बैंडविड्थ से प्रेरकत्व

अनुनाद आवृत्ति से धारिता

उत्तर

फ़ेज़ वोल्टता

फ़ेज़ धारा

कुल वास्तविक शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

समय स्थिरांक

आवेशन वक्र

उत्तर

प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता

स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक

निरावेशन

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

कोना आवृत्ति

लब्धि

उत्तर

लब्धि क्रॉसओवर

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें