तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
प्रतिबाधाएँ
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति
ω = 2πf
परिमाण और कोण
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम
V = I·Z
विधि
आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
AC शक्ति और शक्ति गुणक
सक्रिय शक्ति
P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति
Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति
S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक
pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ
प्राकृतिक आवृत्ति
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा
Imax = V0√(C/L)
गुणता गुणक
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक
RD = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय
e−Rt/(2L)
विधि
पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।
त्रि-फ़ेज़ शक्ति
Y संयोजन
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ संयोजन
VL = Vph, IL = √3·Iph
कुल वास्तविक शक्ति
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता
Δ: VL Y: VL/√3
मोटर निवेश
Pin = Pout/η
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
समय स्थिरांक
τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
DC पर संधारित्र
खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक
शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था
t ≈ 5τ
विधि
स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
थेवेनिन और नॉर्टन
थेवेनिन वोल्टता
Vth = Vopen circuit
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा
IN = Vth/Rth
लोड धारा
IL = Vth/(Rth + RL)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
विधि
भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही Vth है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही Rth है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: Vth, Rth के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: IN = Vth/Rth, और RN = Rth समांतर में।
2अभ्यास प्रश्न
1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम
आरेख z = −4 + j दिखाता है। w = 0.5∠−90° के साथ, उस बिंदु पर क्लिक करें जो z/w को निरूपित करता है।
z = −4 + jw = 0.5∠−90°
1A (−8 + j2)
2B (2 + j8)
3C (−1 − j4)
4D (−2 − j8)
2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन
z³ − 7z² + 25z − 39 = 0 का एक मूल z₁ = 2 + j3 है। गुणांक वास्तविक हैं। वास्तविक मूल r ज्ञात करें।
z₁ = 2 + j3
r =
3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ का शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
cos φ =
4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 2 Ω, L = 20 mH और C = 1 µF है। अनुनाद पर इसका गुणता गुणक Q ज्ञात कीजिए।
R = 2 ΩL = 20 mHC = 1 µF
Q =
5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम
प्रतिबाधा Z = 20 + j15 Ω वाला एक भार 120 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। आभासी शक्ति S ज्ञात कीजिए।
V = 120 VZ = 20 + j15 Ω
S = VA
6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन
एक एकल-फ़ेज़ भार 230 V, 50 Hz आपूर्ति से 0.75 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 50 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.95 तक बढ़ाता है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।
P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 20 kHz पर अनुनाद करता है और Q = 1.5 है। निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति f1 kHz में यथातथ ज्ञात कीजिए।
f0 = 20 kHzQ = 1.5
f1 = kHz
8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन
100 Ω कुल प्रतिरोध, 200 kHz अनुनाद आवृत्ति और 8 kHz बैंडविड्थ वाला एक श्रेणी RLC फ़िल्टर अभिकल्पित कीजिए। धारिता C nF में ज्ञात कीजिए।
R = 100 Ωf0 = 200 kHzBW = 8 kHz
C = nF
9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम
एक त्रि-फ़ेज़ प्रेरण मोटर पूर्ण भार पर 37 kW यांत्रिक निर्गत शक्ति देती है। इस भार पर इसकी दक्षता 88% और शक्ति गुणक 0.84 पश्चगामी है। आपूर्ति की लाइन-से-लाइन वोल्टता 690 V है। लाइन धारा IL ज्ञात कीजिए।
Pout = 37 kWη = 88%cos φ = 0.84VL = 690 V
IL = A
10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन
एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 60 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति QC kvar में ज्ञात कीजिए।
P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 75% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 5 VR = 15 ΩL = 150 mH
t = ms
12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 120 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VR1 = 4.7 kΩR2 = 4.7 kΩC = 10 µFt = 120 ms
vC = V
13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम
टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता Vth ज्ञात कीजिए।
V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन
a–b के बीच भार RL = 10 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति PL ज्ञात कीजिए।
दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 20 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 5 mH और C = 1 µF के साथ। −3 dB बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।
R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF
BW = Hz
16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 104/(s(s + 4)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ωc ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।
L(s) = 104/(s(s + 4))
ωc = rad/s
3विलयन
1.सम्मिश्र संख्याएँ
उत्तर: D (−2 − j8)
ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।
w का प्रभाव
|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°
बिंदु
z/w = −2 − j8 → D
उत्तर
D (−2 − j8)
2.सम्मिश्र संख्याएँ
उत्तर: r = 3
डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।
मूलों के योग से जाँच करें: z₁ + z₂ + r = 4 + 3 = 7 = −(−7)।
3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: cos φ = 0.1259
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
XL = 47.12 Ω, XC = 677.3 Ω
प्रतिबाधा
|Z| = √(80² + (−630.1)²) = 635.2 Ω
शक्ति गुणांक
cos φ = R/|Z| = 80/635.2 = 0.1259
परिपथ धारितीय है, इसलिए शक्ति गुणक अग्रगामी है।
उत्तर
cos φ = 0.1259
4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: Q = 70.71
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनादी आवृत्ति
f0 = 1/(2π·√(0.02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz
गुणता गुणक
Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.02/(1·10⁻⁶)) = 70.71
उत्तर
Q = 70.71
5.AC शक्ति और शक्ति गुणक
उत्तर: S = 576 VA
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
धारा
|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A
आभासी शक्ति
S = V·I = 120·4.8 = 576 VA
उत्तर
S = 576 VA
6.AC शक्ति और शक्ति गुणक
उत्तर: C = 1664 µF
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति
सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41.41°) = 44.1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(18.19°) = 16.43 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27.66 kvar
धारिता
आपूर्ति के पार लगा संधारित्र Q = V²·ωC देता है।
C = QC/(2πf·V²) = 27662/(2π·50·230²) = 1664 µF
उत्तर
C = 1664 µF
7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ
उत्तर: f1 = 14.42 kHz
Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω0L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f1 और f2 के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f2 − f1 = f0/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f0 = √(f1f2) है, और f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e−Rt/(2L) की तरह घटता है।
Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω0L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f1 और f2 के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f2 − f1 = f0/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f0 = √(f1f2) है, और f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e−Rt/(2L) की तरह घटता है।
बैंडविड्थ से प्रेरकत्व
L = R/(2π·BW) = 100/(2π·8000) = 0.001989 H
अनुनाद आवृत्ति से धारिता
C = 1/((2π·200000)²·0.001989) = 3.183 × 10⁻¹⁰ F = 0.3183 nF
उत्तर
C = 0.3183 nF
Q = f₀/BW = 25।
9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति
उत्तर: IL = 41.88 A
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ।
विद्युत निवेश शक्ति
Pin = Pout/η = 37/0.88 = 42.05 kW
लाइन धारा
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 42045/(√3·690·0.84) = 41.88 A
उत्तर
IL = 41.88 A
10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति
उत्तर: QC = 35.65 kvar
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, QC = P·(tan φ1 − tan φ2)। तीनों संधारित्रों में से हर एक QC/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में VL, Y बैंक में VL/√3।
पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति
वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।
Q1 = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar
संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति
QC = Q1 − Q2 = 35.65 kvar
उत्तर
QC = 35.65 kvar
11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 13.86 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms
i(∞) = Vs/R = 5/15 = 0.3333 A
समय के लिए हल करें
0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −10·ln(0.25) = 13.86 ms
उत्तर
t = 13.86 ms
12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vC = 0.3502 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता
स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।
vC(0) = 9·4.7/(4.7 + 4.7) = 4.5 V
स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक
τ = R2·C = 4.7·10 = 47 ms
निरावेशन
vC(t) = 4.5·e−120/47 = 0.3502 V
उत्तर
vC = 0.3502 V
13.थेवेनिन और नॉर्टन
उत्तर: Vth = 5.455 V
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.455 + 15 = 20.45 Ω
Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें
a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·10/(12+10) = 5.455 V
14.थेवेनिन और नॉर्टन
उत्तर: PL = 44.42 W
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 10 = 11.67 Ω
Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें
a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1 + (−4)·1.667 = −5.667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −5.667 + (−4)·10 = −45.67 V
भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें
थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।
IL = Vth/(Rth + RL) = −45.67/(11.67 + 10) = −2.108 A
PL = IL²·RL = −2.108²·10 = 44.42 W
15.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: BW = 636.6 Hz
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
अनुनादी आवृत्ति
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1 × 10⁻⁶) = 14142 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 2251 Hz
बैंडविड्थ
BW = R/L = 20/0.005 = 4000 rad/s = 636.6 Hz
उत्तर
BW = 636.6 Hz
16.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: ωc = 9.814 rad/s
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।