परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z = −7 + j7 का कोणांक θ डिग्री में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच मुख्य मान के रूप में।

z = −7 + j7

θ = °

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

z³ + 6z² + 9z − 50 = 0 का एक मूल z₁ = −4 + j3 है। गुणांक वास्तविक हैं। वास्तविक मूल r ज्ञात करें।

z₁ = −4 + j3

r =

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

φ = °

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ को 2 V (rms) स्रोत से चलाया जाता है जिसकी आवृत्ति परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर सेट है। प्रेरक पर rms वोल्टता V_L ज्ञात कीजिए।

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

V_L = V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

230 V एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से दो भार समांतर में जुड़े हैं: 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 12 kW भार और 0.8 अग्रगामी शक्ति गुणक पर एक 24 kW भार। आपूर्ति से ली गई कुल धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 230 VP₁ = 12 kW, pf₁ = 0.65 पश्चगामीP₂ = 24 kW, pf₂ = 0.8 अग्रगामी

I = A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक 12 V (rms), 1000 Hz स्रोत की आंतरिक प्रतिबाधा Z_s = 20 + j3 Ω है। भार प्रतिबाधा Z_L स्वतंत्र रूप से चुनी जा सकती है। भार को दी जा सकने वाली अधिकतम सक्रिय शक्ति P_max ज्ञात कीजिए।

V_s = 12 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 20 + j3 Ω

P_max = W

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

एक समानांतर RLC परिपथ में R = 2.2 kΩ, L = 47 µH और C = 470 nF है। इसका गुणता गुणक Q ज्ञात कीजिए।

R = 2.2 kΩL = 47 µHC = 470 nF

Q =

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

एक अनुनाद वक्र की अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ 900 kHz और 1.08 MHz हैं। उनके गुणोत्तर माध्य के रूप में अनुनाद आवृत्ति ज्ञात कीजिए, और फिर गुणता गुणक Q।

f₁ = 900 kHzf₂ = 1.08 MHz

Q =

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

प्रति फ़ेज़ 5 + j12 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Y-संयोजित भार 415 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 415 VZ = 5 + j12 Ω प्रति फ़ेज़

P = kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 100 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Δ में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 20 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 20 ms

i = A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 400 ms पर R₂ से होकर धारा i₂ ज्ञात कीजिए।

V_s = 9 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 400 ms

i₂ = mA

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध R_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 15 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति P_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 1 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 10 mH और C = 4.7 µF के साथ। केंद्र (अनुनाद) आवृत्ति f₀ Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 1 ΩL = 10 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 64/(s(s + 4)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ω_c ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।

L(s) = 64/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: θ = 135 °

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

चतुर्थांश

a = −7, b = 7 → II

संदर्भ कोण

α = atan(7/7) = 45°

कोणांक

θ = 180° − α = 135°

उत्तर

θ = 135°

ध्रुवीय रूप में z = 9.899∠135°।

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: r = 2

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

संयुग्मी युग्म

z₂ = −4 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 3²) = z² + 8z + 25

द्विघात का गुणनखंड निकालें

z³ + 6z² + 9z − 50 = (z² + 8z + 25)(z − 2)

वास्तविक मूल

r = 2

उत्तर

r = 2

मूलों के योग से जाँच करें: z₁ + z₂ + r = −8 + 2 = −6 = −(6)।

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = −84.76 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−545.5)²) = 547.8 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−545.5/50) = −84.76°

उत्तर

φ = −84.76°

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_L = 29.81 V

अनुनाद

अनुनाद पर प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, इसलिए प्रतिबाधा केवल R है।

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0.1333 A

प्रेरक पर वोल्टता

X_L = ω₀L = 44721·0.005 = 223.6 Ω

V_L = I·X_L = 0.1333·223.6 = 29.81 V

उत्तर

V_L = 29.81 V

यह आपूर्ति वोल्टता का Q = 14.91 गुना है।

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I = 157.5 A

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

पश्चगामी भार प्रतिघाती शक्ति लेता है (Q > 0); अग्रगामी भार उसे देता है (Q < 0)।

Q₁ = 12·tan(arccos 0.65) = 14.03 kvar

Q₂ = −24·tan(arccos 0.8) = −18 kvar

योग

P = 12 + 24 = 36 kW

Q = 14.03 + (−18) = −3.97 kvar

S = √(36² + (−3.97)²) = 36.22 kVA

कुल धारा

I = S/V = 36218/230 = 157.5 A

उत्तर

I = 157.5 A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: P_max = 1.8 W

संयुग्मी मिलान

भार प्रतिघात स्रोत प्रतिघात को निरस्त करता है, और भार प्रतिरोध स्रोत प्रतिरोध के बराबर है।

Z_L = Z_s* = 20 − j3 Ω

अधिकतम शक्ति

I = V_s/(2R_s) = 12/40 = 0.3 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·20) = 1.8 W

उत्तर

P_max = 1.8 W

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: Q = 220

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

अनुनाद आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 212766 rad/s

गुणता गुणक

Q = R/(ω₀L) = 2200/(212766·4.7 × 10⁻⁵) = 220

उत्तर

Q = 220

बैंडविड्थ 1/(2πRC) = 153.9 Hz है।

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: Q = 5.477

अनुनाद आवृत्ति

f₀ = √(900000·1.08 × 10⁶) = 985901 Hz

बैंडविड्थ

BW = 1.08 × 10⁶ − 900000 = 180000 Hz

गुणता गुणक

Q = 985901/180000 = 5.477

उत्तर

Q = 5.477

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 5.095 kW

फ़ेज़ वोल्टता

V_ph = 415/√3 = 239.6 V

फ़ेज़ धारा

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 239.6/13 = 18.43 A

कुल वास्तविक शक्ति

हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।

P = 3·I_ph²·R = 3·18.43²·5 = 5.095 kW

उत्तर

P = 5.095 kW

जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.3846, और √3·V_L·I_L·cos φ से वही शक्ति मिलती है।

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 110.4 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 100·tan(acos 0.7) = 100·1.02 = 102 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 59.42 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Δ बैंक में हर संधारित्र दो लाइनों के बीच जुड़ा होता है।

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19807/(377·690²) = 110.4 µF

उत्तर

C_ph = 110.4 µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.2792 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0.3 A

दिए गए समय पर धारा

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.3·(1 − e^−20/7.5) = 0.2792 A

उत्तर

i = 0.2792 A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i₂ = 0.1822 mA

प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता

स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।

v_C(0) = 9·10/(4.7 + 10) = 6.122 V

स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक

τ = R₂·C = 10·33 = 330 ms

निरावेशन

v_C(t) = 6.122·e^−400/330 = 1.822 V

i₂ = v_C/R₂ = 1.822/10 = 0.1822 mA

उत्तर

i₂ = 0.1822 mA

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: R_th = 7.429 Ω

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 6 = 7.429 Ω

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: P_L = 95.79 W

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 30·25/(30+25) = 13.64 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 13.64 + 5 = 18.64 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.182 + (−5)·13.64 = −60 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −60 + (−5)·5 = −85 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −85/(18.64 + 15) = −2.527 A

P_L = I_L²·R_L = −2.527²·15 = 95.79 W

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: f₀ = 734.1 Hz

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

अनुनादी आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7 × 10⁻⁶) = 4613 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 734.1 Hz

उत्तर

f₀ = 734.1 Hz

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: ω_c = 7.517 rad/s

लब्धि क्रॉसओवर

ω⁴ + 16ω² − 4096 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·4096))/2 = 56.5

ω_c = 7.517 rad/s

उत्तर

ω_c = 7.517 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

चतुर्थांश

संदर्भ कोण

कोणांक

उत्तर

संयुग्मी युग्म

द्विघात का गुणनखंड निकालें

वास्तविक मूल

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

कलान्तर कोण

उत्तर

अनुनाद

प्रेरक पर वोल्टता

उत्तर

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

योग

कुल धारा

उत्तर

संयुग्मी मिलान

अधिकतम शक्ति

उत्तर

अनुनाद आवृत्ति

गुणता गुणक

उत्तर

अनुनाद आवृत्ति

बैंडविड्थ

गुणता गुणक

उत्तर

फ़ेज़ वोल्टता

फ़ेज़ धारा

कुल वास्तविक शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

प्रति फ़ेज़ धारिता

उत्तर

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

दिए गए समय पर धारा

उत्तर

प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता

स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक

निरावेशन

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

अनुनादी आवृत्ति

उत्तर

लब्धि क्रॉसओवर

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें