परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z = −7 + j9 का कोणांक θ डिग्री में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच मुख्य मान के रूप में।

z = −7 + j9

θ = °

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

zⁿ = w के मूल, n = 2 और w = 25∠−90° के साथ, z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n) हैं, k = 0, 1। z₀ का कोणांक डिग्री में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच।

w = 25∠−90°n = 2k = 0

θ₀ = °

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। आपूर्ति से ली गई सक्रिय शक्ति P ज्ञात कीजिए।

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

P = W

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

एक एकल-फ़ेज़ मोटर 230 V आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 4 kW लेती है। लाइन धारा I ज्ञात कीजिए।

P = 4 kWpf = 0.65V = 230 V

I = A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक 10 V (rms), 50 Hz स्रोत की आंतरिक प्रतिबाधा Z_s = 50 + j20 Ω है। भार प्रतिबाधा Z_L स्वतंत्र रूप से चुनी जा सकती है। भार को दी जा सकने वाली अधिकतम सक्रिय शक्ति P_max ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 V (rms)f = 50 HzZ_s = 50 + j20 Ω

P_max = W

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 100 Ω, L = 220 µH और C = 470 pF है। इसकी बैंडविड्थ BW kHz में ज्ञात कीजिए।

R = 100 ΩL = 220 µHC = 470 pF

BW = kHz

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

एक समानांतर टैंक परिपथ 470 pF संधारित्र और 47 mH कुंडली से बना है, जिसका वाइंडिंग प्रतिरोध 10 Ω है। अनुनाद पर वह प्रतिरोधक की तरह व्यवहार करता है, उसका गतिक प्रतिरोध R_D = L/(C·r) है। R_D kΩ में ज्ञात कीजिए।

L = 47 mHC = 470 pFr = 10 Ω

R_D = kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली आपूर्ति से 50 A की लाइन धारा लेता है। शक्ति गुणक 0.75 पश्चगामी है। भार द्वारा ली गई कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0.75

P = kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.7 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 60 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.98 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति Q_C kvar में ज्ञात कीजिए।

P = 60 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 15 V है। t = 300 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR = 6.8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 15 Vt = 300 ms

v_C = V

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

नॉर्टन धारा I_N ज्ञात कीजिए: टर्मिनल शॉर्ट करने पर a से b की ओर बहने वाली धारा।

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता V_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

G(s) = 840/((s + 10)(s + 12)) का ω = 15 rad/s पर सटीक परिमाण |G(jω)| dB में ज्ञात कीजिए।

G(s) = 840/((s + 10)(s + 12))ω = 15 rad/s

|G(jω)| = dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 298/(s(s + 5)(s + 7)) है। लब्धि सीमा GM dB में ज्ञात कीजिए।

L(s) = 298/(s(s + 5)(s + 7))

GM = dB

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: θ = 127.9 °

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

चतुर्थांश

a = −7, b = 9 → II

संदर्भ कोण

α = atan(9/7) = 52.13°

कोणांक

θ = 180° − α = 127.9°

उत्तर

θ = 127.9°

ध्रुवीय रूप में z = 11.4∠127.9°।

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: θ₀ = −45 °

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

मूलों का मापांक

25^1/2 = 5

मूल का कोणांक

θ₀ = (−90° + 360°·0)/2 = −45°

कोणांक

θ₀ = −45°

उत्तर

θ₀ = −45°

2 मूल त्रिज्या 5 के वृत्त पर स्थित हैं, 180° के अंतर पर।

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: P = 83.67 W

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = 251.3 Ω, X_C = 169.3 Ω

प्रतिबाधा

|Z| = √(60² + (82.01)²) = 101.6 Ω

सक्रिय शक्ति

प्रेरक और संधारित्र केवल ऊर्जा संचित करते और लौटाते हैं; सारी सक्रिय शक्ति प्रतिरोधक अवशोषित करता है।

I = 120/101.6 = 1.181 A

P = I²·R = 1.181²·60 = 83.67 W

उत्तर

P = 83.67 W

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 1.617 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (117.7)²) = 118.1 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 24/118.1 = 0.2032 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 0.2032·7.958 = 1.617 V

उत्तर

V_C = 1.617 V

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I = 26.76 A

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

लाइन धारा

शक्ति का केवल सक्रिय भाग कार्य करता है, इसलिए शक्ति गुणक से भाग दें।

I = P/(V·cos φ) = 4000/(230·0.65) = 26.76 A

उत्तर

I = 26.76 A

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: P_max = 0.5 W

संयुग्मी मिलान

भार प्रतिघात स्रोत प्रतिघात को निरस्त करता है, और भार प्रतिरोध स्रोत प्रतिरोध के बराबर है।

Z_L = Z_s* = 50 − j20 Ω

अधिकतम शक्ति

I = V_s/(2R_s) = 10/100 = 0.1 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·50) = 0.5 W

उत्तर

P_max = 0.5 W

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: BW = 72.34 kHz

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

rad/s में बैंडविड्थ

R/L = 100/0.00022 = 454545 rad/s

Hz में बैंडविड्थ

BW = 454545/(2π) = 72343 Hz = 72.34 kHz

उत्तर

BW = 72.34 kHz

f₀ = 494.9 kHz के साथ इससे Q = 6.842 मिलता है।

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: R_D = 10000 kΩ

गतिक प्रतिरोध

R_D = 0.047/(4.7 × 10⁻¹⁰·10) = 1 × 10⁷ Ω = 10000 kΩ

Q से जाँच

Q = (1/r)·√(L/C) = 1000, Q²·r = 1 × 10⁷ Ω

उत्तर

R_D = 10000 kΩ

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: P = 25.98 kW

आभासी शक्ति

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34.64 kVA

सक्रिय शक्ति

P = S·cos φ = 34.64·0.75 = 25.98 kW

उत्तर

P = 25.98 kW

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: Q_C = 49.03 kvar

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 49.03 kvar

उत्तर

Q_C = 49.03 kvar

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.03628 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0.07353 A

दिए गए समय पर धारा

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.07353·(1 − e^−1/1.471) = 0.03628 A

उत्तर

i = 0.03628 A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 12.61 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 68 µF = 462.4 ms

v_C(t) = 10 + (15 − 10)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(300) = 10 + (5)·e^−300/462.4 = 12.61 V

उत्तर

v_C = 12.61 V

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_N = 1.636 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.333 + 6 = 7.333 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·4/(2+4) = 12 V

नॉर्टन समतुल्य

नॉर्टन स्रोत वही परिपथ है जिसे R_th के समांतर एक धारा स्रोत के रूप में देखा जाता है। इसकी धारा a–b पर शॉर्ट-सर्किट धारा है।

I_N = V_th/R_th = 12/7.333 = 1.636 A

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: V_th = 188.6 V

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 5·30/(5+30) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 25 = 29.29 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12.86 + 6·4.286 = 38.57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 38.57 + 6·25 = 188.6 V

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |G(jω)| = 7.696 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

परिमाण गुणा कीजिए

|G(j15)| = 840/(√(15² + 10²)·√(15² + 12²)) = 840/(18.03·19.21) = 2.426

परिणाम

20·log₁₀(2.426) = 7.696 dB

उत्तर

|G(jω)| = 7.696 dB

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: GM = 2.981 dB

कला क्रॉसओवर

(ω/5)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·7) = 5.916 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 49)) = K/(5·7·(5 + 7)) = K/420

लब्धि सीमा

GM = 20·log₁₀(420/298) = 2.981 dB

उत्तर

GM = 2.981 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

चतुर्थांश

संदर्भ कोण

कोणांक

उत्तर

मूलों का मापांक

मूल का कोणांक

कोणांक

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

सक्रिय शक्ति

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

संधारित्र पर वोल्टता

उत्तर

लाइन धारा

उत्तर

संयुग्मी मिलान

अधिकतम शक्ति

उत्तर

rad/s में बैंडविड्थ

Hz में बैंडविड्थ

उत्तर

गतिक प्रतिरोध

Q से जाँच

उत्तर

आभासी शक्ति

सक्रिय शक्ति

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

उत्तर

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

दिए गए समय पर धारा

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

दिए गए समय पर वोल्टता

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

नॉर्टन समतुल्य

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

परिमाण गुणा कीजिए

परिणाम

उत्तर

कला क्रॉसओवर

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

लब्धि सीमा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें