परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

AC शक्ति और शक्ति गुणक

सक्रिय शक्ति: P = V·I·cos φ
प्रतिघाती शक्ति: Q = V·I·sin φ
आभासी शक्ति: S = V·I = √(P² + Q²)
शक्ति गुणांक: pf = cos φ = P/S
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

प्राकृतिक आवृत्ति: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
ऊर्जा: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
शिखर धारा: I_max = V₀√(C/L)
गुणता गुणक: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
श्रेणी RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
समानांतर RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
बैंडविड्थ: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
कुंडली प्रतिरोध r वाला टैंक: R_D = L/(C·r) = Q²·r
आयाम का क्षय: e^−Rt/(2L)

विधि

पहले अनुनाद आवृत्ति ज्ञात करें: ω₀ = 1/√(LC) और f₀ = ω₀/(2π)।
तय करें कि परिपथ श्रेणी है या समानांतर: श्रेणी Q = (1/R)√(L/C), समानांतर Q = R√(C/L)।
बैंडविड्थ के लिए BW = f₀/Q उपयोग करें, या शॉर्टकट R/(2πL) (श्रेणी) और 1/(2πRC) (समानांतर)।
ऊर्जा के प्रश्नों में इस तथ्य का उपयोग करें कि आदर्श LC परिपथ में कुल ऊर्जा ½CV₀² अचर रहती है और हर चौथाई आवर्त में C और L के बीच आती-जाती है।

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

Y संयोजन: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ संयोजन: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
कुल वास्तविक शक्ति: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
आभासी और प्रतिघाती शक्ति: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
सुधार संधारित्र: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
प्रत्येक संधारित्र पर वोल्टता: Δ: V_L Y: V_L/√3
मोटर निवेश: P_in = P_out/η

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z = −7 + j6 का कोणांक θ डिग्री में ज्ञात करें, −180° और 180° के बीच मुख्य मान के रूप में।

z = −7 + j6

θ = °

2.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

समीकरण z² + 6z + 13 = 0 के दो सम्मिश्र मूल हैं। उनका मापांक |z| ज्ञात करें।

p = 6q = 13

|z| =

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 100 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

5.AC शक्ति और शक्ति गुणकमध्यम

240 V एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से दो भार समांतर में जुड़े हैं: 0.85 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 3 kW भार और 0.9 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 20 kW भार। आपूर्ति द्वारा देखा गया कुल शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।

V = 240 VP₁ = 3 kW, pf₁ = 0.85 पश्चगामीP₂ = 20 kW, pf₂ = 0.9 पश्चगामी

cos φ =

6.AC शक्ति और शक्ति गुणककठिन

एक एकल-फ़ेज़ भार 240 V, 60 Hz आपूर्ति से 0.8 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 3 kW लेता है। भार के समांतर में एक 22 µF संधारित्र जोड़ा जाता है। नई लाइन धारा I ज्ञात कीजिए।

P = 3 kWpf₁ = 0.8V = 240 Vf = 60 HzC = 22 µF

I = A

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थमध्यम

एक समानांतर RLC परिपथ में R = 47 kΩ, L = 4.7 mH और C = 2.2 nF है। इसका गुणता गुणक Q ज्ञात कीजिए।

R = 47 kΩL = 4.7 mHC = 2.2 nF

Q =

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थकठिन

एक श्रेणी अनुनादी परिपथ 4.7 mH प्रेरक का उपयोग करता है। कौन-सा कुल श्रेणी प्रतिरोध R 1 kHz की बैंडविड्थ देगा?

L = 4.7 mHBW = 1 kHz

R = Ω

9.त्रि-फ़ेज़ शक्तिमध्यम

एक त्रि-फ़ेज़ प्रेरण मोटर पूर्ण भार पर 55 kW यांत्रिक निर्गत शक्ति देती है। इस भार पर इसकी दक्षता 88% और शक्ति गुणक 0.85 पश्चगामी है। आपूर्ति की लाइन-से-लाइन वोल्टता 480 V है। लाइन धारा I_L ज्ञात कीजिए।

P_out = 55 kWη = 88%cos φ = 0.85V_L = 480 V

I_L = A

10.त्रि-फ़ेज़ शक्तिकठिन

एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 690 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 150 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.95 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र Y में जुड़े हैं। हर संधारित्र की धारिता C_ph µF में ज्ञात कीजिए।

P = 150 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 3 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 0 के कितनी देर बाद प्रेरक धारा 0.471 A तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 47 ΩL = 150 mH

t = ms

13.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

नॉर्टन धारा I_N ज्ञात कीजिए: टर्मिनल शॉर्ट करने पर a से b की ओर बहने वाली धारा।

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

14.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 10 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति P_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

15.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए RC निम्न-पारक फ़िल्टर में R = 47 kΩ, C = 22 nF है। 310 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। v_in के सापेक्ष v_out का कला अंतर φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

R = 47 kΩC = 22 nFf = 310 Hz

φ = °

16.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 4 dB की लब्धि सीमा देती है।

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 4 dB

K =

3विलयन

1.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: θ = 139.4 °

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

चतुर्थांश

a = −7, b = 6 → II

संदर्भ कोण

α = atan(6/7) = 40.6°

कोणांक

θ = 180° − α = 139.4°

उत्तर

θ = 139.4°

ध्रुवीय रूप में z = 9.22∠139.4°।

2.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: |z| = 3.606

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

विविक्तकर

p² − 4q = 36 − 52 = −16 < 0

द्विघात सूत्र

z = (−6 ± j√16)/2 = −3 + j2, −3 − j2

उत्तर

|z| = √((−3)² + 2²) = √13 = 3.606

उत्तर

|z| = 3.606

3.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 2.491 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (91.8)²) = 92.34 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 230/92.34 = 2.491 A

उत्तर

I = 2.491 A

4.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 0.1814 A

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−545.5)²) = 551.4 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 100/551.4 = 0.1814 A

उत्तर

I = 0.1814 A

5.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: cos φ = 0.8937

AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

पश्चगामी भार प्रतिघाती शक्ति लेता है (Q > 0); अग्रगामी भार उसे देता है (Q < 0)।

Q₁ = 3·tan(arccos 0.85) = 1.859 kvar

Q₂ = 20·tan(arccos 0.9) = 9.686 kvar

योग

P = 3 + 20 = 23 kW

Q = 1.859 + 9.686 = 11.55 kvar

S = √(23² + 11.55²) = 25.74 kVA

कुल शक्ति गुणक

cos φ = P/S = 23/25.74 = 0.8937 पश्चगामी

उत्तर

cos φ = 0.8937

6.AC शक्ति और शक्ति गुणक

उत्तर: I = 14.52 A

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।

Q₁ = 3·tan(arccos 0.8) = 2.25 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·22·10⁻⁶ = 477.7 var = 0.4777 kvar

Q₂ = 2.25 − 0.4777 = 1.772 kvar

नई आभासी शक्ति

S₂ = √(3² + 1.772²) = 3.484 kVA

नई लाइन धारा

I = S₂/V = 3484/240 = 14.52 A

उत्तर

I = 14.52 A

7.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: Q = 32.16

Q गुणक और बैंडविड्थ: अनुनादी परिपथ में Q = 2π·(संचित ऊर्जा)/(प्रति चक्र खोई ऊर्जा)। श्रेणी RLC के लिए Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); समानांतर RLC के लिए Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)। अर्ध-शक्ति आवृत्तियों f₁ और f₂ के बीच की बैंडविड्थ (जहाँ शक्ति आधी और धारा या वोल्टता शिखर की 1/√2 होती है) BW = f₂ − f₁ = f₀/Q है, जो श्रेणी में R/(2πL) और समानांतर में 1/(2πRC) है। अनुनाद आवृत्ति गुणोत्तर माध्य f₀ = √(f₁f₂) है, और f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))। हानियाँ दोलन को क्षीण भी करती हैं: श्रेणी RLC में आयाम e^−Rt/(2L) की तरह घटता है।

अनुनाद आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 310985 rad/s

गुणता गुणक

Q = R/(ω₀L) = 47000/(310985·0.0047) = 32.16

उत्तर

Q = 32.16

बैंडविड्थ 1/(2πRC) = 1.539 kHz है।

8.LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

उत्तर: R = 29.53 Ω

श्रेणी बैंडविड्थ

BW = R/(2πL)

प्रतिरोध

R = 2π·0.0047·1000 = 29.53 Ω

उत्तर

R = 29.53 Ω

9.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: I_L = 88.44 A

विद्युत निवेश शक्ति

P_in = P_out/η = 55/0.88 = 62.5 kW

लाइन धारा

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 62500/(√3·480·0.85) = 88.44 A

उत्तर

I_L = 88.44 A

10.त्रि-फ़ेज़ शक्ति

उत्तर: C_ph = 702.4 µF

संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, V_L = √3·V_ph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, I_L = √3·I_ph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)। तीनों संधारित्रों में से हर एक Q_C/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में V_L, Y बैंक में V_L/√3।

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।

Q₁ = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

Q_C = Q₁ − Q₂ = 126.1 kvar

प्रति फ़ेज़ धारिता

Y बैंक में हर संधारित्र एक लाइन और स्टार बिंदु के बीच जुड़ा होता है।

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 42022/(377·398.4²) = 702.4 µF

उत्तर

C_ph = 702.4 µF

11.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 1.104 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

धारा का क्षय

i(t) = 3·e^−1/1 = 1.104 A

उत्तर

i = 1.104 A

12.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 1.717 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले बंद स्विच R₂ को बायपास करता है; बाद में R₁ और R₂ दोनों लूप में हैं।

i(0) = 24/33 = 0.7273 A

i(∞) = 24/(33 + 47) = 0.3 A

τ = L/R = 150/80 = 1.875 ms

i(t) = 0.3 + (0.7273 − 0.3)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

e^−t/τ = (0.471 − 0.3)/(0.7273 − 0.3) = 0.4002

t = 1.875·ln(2.499) = 1.717 ms

उत्तर

t = 1.717 ms

13.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_N = 0.8276 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 15 = 17.4 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·6/(4+6) = 14.4 V

नॉर्टन समतुल्य

नॉर्टन स्रोत वही परिपथ है जिसे R_th के समांतर एक धारा स्रोत के रूप में देखा जाता है। इसकी धारा a–b पर शॉर्ट-सर्किट धारा है।

I_N = V_th/R_th = 14.4/17.4 = 0.8276 A

14.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: P_L = 64.79 W

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 10 = 12 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8 + 4·2 = 16 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16 + 4·10 = 56 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 56/(12 + 10) = 2.545 A

P_L = I_L²·R_L = 2.545²·10 = 64.79 W

15.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: φ = −63.59 °

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·2.2 × 10⁻⁸) = 967.1 rad/s

f_c = 153.9 Hz → f/f_c = 310/153.9 = 2.014

कला

φ = − atan(2.014) = −63.59°

उत्तर

φ = −63.59°

16.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: K = 30.29

कला क्रॉसओवर

(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·4) = 2.828 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 16)) = K/(2·4·(2 + 4)) = K/48

आवश्यक लब्धि

48/K = 10^4/20 = 1.585

K = 48/1.585 = 30.29

उत्तर

K = 30.29

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

परिपथ विश्लेषण 2: AC परिपथ: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

सम्मिश्र संख्याएँ

विधि

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

विधि

AC शक्ति और शक्ति गुणक

LC अनुनाद, Q गुणक और बैंडविड्थ

विधि

त्रि-फ़ेज़ शक्ति

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

चतुर्थांश

संदर्भ कोण

कोणांक

उत्तर

विविक्तकर

द्विघात सूत्र

उत्तर

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

प्रतिघात

प्रतिबाधा

धारा

उत्तर

हर भार की प्रतिघाती शक्ति

योग

कुल शक्ति गुणक

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

नई आभासी शक्ति

नई लाइन धारा

उत्तर

अनुनाद आवृत्ति

गुणता गुणक

उत्तर

श्रेणी बैंडविड्थ

प्रतिरोध

उत्तर

विद्युत निवेश शक्ति

लाइन धारा

उत्तर

पहले और बाद की प्रतिघाती शक्ति

संधारित्रों से प्रतिघाती शक्ति

प्रति फ़ेज़ धारिता

उत्तर

समय स्थिरांक

धारा का क्षय

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

समय के लिए हल करें

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

नॉर्टन समतुल्य

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

कोना आवृत्ति

कला

उत्तर

कला क्रॉसओवर

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

आवश्यक लब्धि

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें