कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −19 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −198 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0001 1001 OR 0011 0011 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0001 1001OR0011 0011

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र (q ∧ r) → p के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

(q ∧ r) → p

1(q → p) ∧ (r → p)
2q → (r → p)
3q ∧ (r → p)
4(q → r) → p

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य a → (b ∨ c); a और निष्कर्ष b वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

a → (b ∨ c)a∴ b

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 15) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 15)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड JK फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0JK

1क्लॉक कोर 1
2क्लॉक कोर 2
3क्लॉक कोर 3
4क्लॉक कोर 4
5क्लॉक कोर 5
6क्लॉक कोर 6
7क्लॉक कोर 7
8क्लॉक कोर 8

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

54x ≡ 9 (mod 83) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 83।

54x ≡ 9 (mod 83)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 11 और q = 17 तथा सार्वजनिक घातांक e = 17 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 11q = 17e = 17

d =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

Aसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
Bऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
Cपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
Dयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम स्रोत से पहुँच योग्य ऋणात्मक-भार चक्र का पता कैसे लगाता है?

Aयह डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम दो बार चलाकर दोनों दूरी परिणामों की तुलना करता है
Bयह डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च से चक्र गिनता है
Cयह जाँचता है कि क्या किसी किनारे का भार ऋणात्मक है
DV − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक एप्लिकेशन को तेज़ खोज चाहिए और कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में सूचीबद्ध करना तथा रेंज प्रश्नों के उत्तर देना भी चाहिए। कौन-सी संरचना सबसे उपयुक्त है?

Aअनसॉर्टेड लिंक्ड लिस्ट
Bहैश टेबल
Cसंतुलित बाइनरी सर्च ट्री
Dस्टैक

12.डेटा संरचनाएँकठिन

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में डिलीशन अक्सर "टॉम्बस्टोन" चिह्न से क्यों किया जाता है?

Aस्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
Bसुरक्षा के लिए हटाई गई कुंजियाँ हमेशा रखनी पड़ती हैं, इसलिए स्लॉट दोबारा उपयोग नहीं हो सकते
Cटॉम्बस्टोन हैशिंग को तेज़ करते हैं
Dइससे टेबल क्रमबद्ध हो जाती है

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक B से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

छात्र कई कोर्स ले सकते हैं और कोर्स में कई छात्र होते हैं। इसे टेबलों में कैसे मॉडल किया जाता है?

Aएक कॉलम में संग्रहित course id की सूची से
Bstudents और courses दोनों की फ़ॉरेन की रखने वाली एक जंक्शन टेबल से
Cstudents और courses को एक टेबल में मिलाकर
Dstudents टेबल में course_id फ़ॉरेन की कॉलम से, जो courses को इंगित करता है

16.डेटाबेस और SQLकठिन

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales क्या गणना करता है?

Aहर पंक्ति पर सभी amounts का योग
Bday के अनुसार क्रमबद्ध amount का चलता योग (running total)
Cप्रति दिन एक पंक्ति, केवल उस दिन के योग के साथ
Dप्रति दिन औसत amount

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

सम पैरिटी (even parity) का उपयोग करते हुए, डेटा बिट्स 1011001 में कौन-सा पैरिटी बिट जोड़ा जाता है?

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Nyquist सूत्र के अनुसार, 4 सिग्नल स्तरों का उपयोग करने वाले शोर-रहित 3 kHz चैनल की अधिकतम बिट दर क्या है?

A24 kbit/s
B3 kbit/s
C12 kbit/s
D6 kbit/s

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 10 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/2410 subnets

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.124.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 14 होस्ट, B: 56 होस्ट, C: 43 होस्ट, D: 17 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN A के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 14B: 56C: 43D: 17

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 237

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

19 = 0001 0011

उलटा हुआ: 1110 1100

+1 → 1110 1101

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1110 1101₂ = 256 − 19 = 237

उत्तर

U = 237

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 59

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

0001 1001

OR 0011 0011

= 0011 1011

परिणाम का मान

0011 1011₂ = 59

उत्तर

R = 59

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: q → (r → p)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।

(q ∧ r) → p ≡ q → (r → p)

सत्यमान सारणी से जाँच

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 0

उत्तर

q → (r → p)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: a = 1, b = 0, c = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 0 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

a = 1, b = 0, c = 1

उत्तर

a = 1, b = 0, c = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C + D′)

(A + B + D)

(A + B′ + C′ + D′)

(A′ + B′ + C + D)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C + D′)(A + B + D)(A + B′ + C′ + D′)(A′ + B′ + C + D)

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 3

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

JK फ़्लिप-फ़्लॉप: 00 स्थिर रखता है, 01 रीसेट करता है (Q = 0), 10 सेट करता है (Q = 1), 11 टॉगल करता है।

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 1, K = 1 → Q = 0

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

8: J = 0, K = 1 → Q = 0

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 3

उत्तर

क्लॉक कोर 3

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 14

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

54 का प्रतिलोम

r = 83, t = 0

r = 54, q = 1, t = 1

r = 29, q = 1, t = −1

r = 25, q = 1, t = 2

r = 4, q = 6, t = −3

r = 1, q = 4, t = 20

54⁻¹ ≡ 20 (mod 83)

हल करें

x ≡ 20·9 = 180 ≡ 14 (mod 83)

जाँच: 54·14 = 756 ≡ 9 (mod 83)

उत्तर

x = 14

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 113

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 11·17 = 187

φ(n) = 10·16 = 160

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 160, t = 0

r = 17, q = 9, t = 1

r = 7, q = 2, t = −9

r = 3, q = 2, t = 19

r = 1, q = 3, t = −47

निजी घातांक

d = 113

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 4

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

C · 12 kbit/s

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 14

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

2⁴ = 16 ≥ 10 → b = 4, /28

प्रति सबनेट होस्ट

2⁴ − 2 = 14

उत्तर

H = 14

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 160

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

B: 56 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

C: 43 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

D: 17 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

A: 14 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

B: .0 – .63

C: .64 – .127

D: .128 – .159

A: .160 – .175

उत्तर

x = 160

LAN A: 192.168.124.160/28।

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