कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −83 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −838 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1111 0101 OR 0001 1010 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1111 0101OR0001 1010

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र (q ∧ r) → p के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

(q ∧ r) → p

1q ∧ (r → p)
2(q → r) → p
3(q → p) ∧ (r → p)
4q → (r → p)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x (F(x) ∧ G(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x (F(x) ∧ G(x))

1∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
2∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3∃x (F(x) → ¬G(x))
4∀x (F(x) → ¬G(x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 5, 7) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कुल कितने लिटरल L हैं (प्राइम वाला चर एक लिटरल गिना जाता है)?

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 5, 7)

L =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 4-बिट शिफ़्ट रजिस्टर Q₃Q₂Q₁Q₀ में 1110 है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ खो जाता है) और सीरियल निवेश Q₃ में प्रवेश करता है। सीरियल निवेश 7 कोरों पर 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1 है। अंतिम अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11101, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

17 के मापांक में 3 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 17 और 3·x ≡ 1 (mod 17)।

a = 3n = 17

3⁻¹ mod 17 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 13 और q = 43 तथा सार्वजनिक घातांक e = 23 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 13q = 43e = 23

d =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) कार्य करें — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

AO(n log n)
BO(n³)
CO(n)
DO(n²)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बड़े n के लिए n! और 2ⁿ की तुलना कैसी है?

An!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
Bदोनों एक ही दर से बढ़ते हैं
C2ⁿ, n! से तेज़ बढ़ता है
Dn!, O(n²) है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

कौन-सी टकराव समाधान (collision resolution) विधि टकराने वाली कुंजियों को उसी बकेट में एक सूची में संग्रहीत करती है?

Aक्वाड्रैटिक प्रोबिंग (Quadratic probing)
Bसेपरेट चेनिंग (Separate chaining)
Cडबल हैशिंग (Double hashing)
Dलीनियर प्रोबिंग (Linear probing)

12.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी सर्च ट्री से दो चाइल्ड वाले नोड को हटाना आमतौर पर कैसे किया जाता है?

Aउसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
Bउसके नीचे के सबट्री को शुरू से दोबारा बनाकर और उसमें मौजूद हर कुंजी को फिर से डालकर
Cउसे रूट से अदला-बदली करके
Dपूरे सबट्री को हटाकर

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 2 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

2 × deg 44 × deg 2

L =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

डर्टी रीड (dirty read) क्या है?

Aएक ही पंक्ति दो बार पढ़कर समान मान पाना
BWHERE क्लॉज़ के बिना डेटा पढ़ना
Cक्षतिग्रस्त डिस्क से डेटा पढ़ना
Dकिसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ

16.डेटाबेस और SQLकठिन

क्वेरी FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' अप्रत्याशित रूप से बिना ऑर्डर वाले ग्राहकों को हटा देती है। क्यों?

Aजॉइन को ON के बजाय USING का उपयोग करना चाहिए
BLEFT JOIN कभी बिना मेल वाली पंक्तियाँ नहीं रखता
Co पर WHERE शर्त NULL से भरी पंक्तियों को अस्वीकार करती है, जिससे यह इनर जॉइन बन जाता है
Dstatus एक आरक्षित शब्द है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

Ethernet फ़्रेमों में चक्रीय अतिरेक जाँच (CRC) का उपयोग किसलिए होता है?

Aसंचरण त्रुटियों का पता लगाने के लिए
Bहर बिट त्रुटि को स्वतः ठीक करने के लिए
Cफ़्रेम को एन्क्रिप्ट करने के लिए
Dसबसे अच्छा मार्ग चुनने के लिए

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

IPv4 की तुलना में IPv6 में विखंडन (fragmentation) कैसे भिन्न है?

AIPv6 राउटर आगे भेजने से पहले 64 बाइट से बड़े हर पैकेट को मार्ग में विखंडित करते हैं
BIPv6 ट्रांसपोर्ट परत पर TCP के भीतर विखंडन करता है
Cराउटर IPv6 पैकेटों को कभी विखंडित नहीं करते; केवल स्रोत path MTU discovery का उपयोग करके कर सकता है
DIPv6 576 बाइट से बड़े पैकेटों की अनुमति नहीं देता

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 1163 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

1163 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.9.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 12 होस्ट, B: 27 होस्ट, C: 4 होस्ट, D: 6 होस्ट, E: 15 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN E के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 12B: 27C: 4D: 6E: 15

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 173

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

83 = 0101 0011

उलटा हुआ: 1010 1100

+1 → 1010 1101

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1010 1101₂ = 256 − 83 = 173

उत्तर

U = 173

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 255

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

1111 0101

OR 0001 1010

= 1111 1111

परिणाम का मान

1111 1111₂ = 255

उत्तर

R = 255

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: q → (r → p)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।

(q ∧ r) → p ≡ q → (r → p)

सत्यमान सारणी से जाँच

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 0 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 0 1 1

उत्तर

q → (r → p)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x (F(x) → ¬G(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x (F(x) → ¬G(x))

उत्तर

∀x (F(x) → ¬G(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

A′C′

न्यूनतम SOP रूप

F = A′C′ + AC

L = 4

उत्तर

L = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 8

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

1110 → 1111 → 0111 → 1011 → 0101 → 0010 → 0001 → 1000

दशमलव मान

1000₂ = 8

उत्तर

Q = 8

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 3⁻¹ mod 17 = 6

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·3 (mod 17) के रूप में लिखा जाता है।

r = 17, t = 0

r = 3, q = 5, t = 1

r = 2, q = 1, t = −5

r = 1, q = 2, t = 6

व्युत्क्रम

1 ≡ 6·3 (mod 17)

x = 6

जाँच: 3·6 = 18 = 1·17 + 1

उत्तर

3⁻¹ mod 17 = 6

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 263

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 13·43 = 559

φ(n) = 12·42 = 504

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 504, t = 0

r = 23, q = 21, t = 1

r = 21, q = 1, t = −21

r = 2, q = 10, t = 22

r = 1, q = 2, t = −241

निजी घातांक

d = 263

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 16 = 2(L + 6) − 2

L = 6

उत्तर

L = 6

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: C

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 1, C: 11

2. B (1): D: 9, E: 6

3. E (6)

4. D (9): F: 17

5. C (11)

IPv6 राउटर बहुत बड़े पैकेट को गिरा देता है और ICMPv6 Packet Too Big लौटाता है। फिर स्रोत छोटे पैकेट भेजता है या fragment extension header का उपयोग करता है।

उत्तर

C · राउटर IPv6 पैकेटों को कभी विखंडित नहीं करते; केवल स्रोत path MTU discovery का उपयोग करके कर सकता है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 21

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1163

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1163 → h = 11

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 11 = 21

उत्तर

p = /21

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 32

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

B: 27 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

E: 15 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

A: 12 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

D: 6 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

C: 4 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

B: .0 – .31

E: .32 – .63

A: .64 – .79

D: .80 – .87

C: .88 – .95

उत्तर

x = 32

LAN E: 192.168.9.32/27।

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