कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−36 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −368 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक प्रणाली को 2365 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?

2365

b = bit

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

क्या (q → r) ↔ (r → q) पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है? अपना उत्तर क्लिक करें।

(q → r) ↔ (r → q)

1पुनरुक्ति
2विरोधोक्ति
3आपातिक कथन

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी (s → r) ∧ ¬(¬(p ↔ q) → ¬s) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

(s → r) ∧ ¬(¬(p ↔ q) → ¬s)

N =

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 10, 11, 12, 13) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 10, 11, 12, 13)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 4-बिट जॉनसन काउंटर Q₃Q₂Q₁Q₀ 0000 से शुरू होता है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) और Q₃ को Q₀ का उलटा मिलता है। 11 क्लॉक कोरों के बाद अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 000011

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

43 के मापांक में 13 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 43 और 13·x ≡ 1 (mod 43)।

a = 13n = 43

13⁻¹ mod 43 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

15⁷² mod 22 ज्ञात करने के लिए बार-बार वर्ग करने की विधि का उपयोग करें।

a = 15k = 72n = 22

15⁷² mod 22 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

AO(nk)
BO(n log n + k log n)
CO(k n log n)
DO(n + k)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास NP की कौन-सी परिभाषा सही है?

Aनिर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
Bसमस्याएँ जिन्हें कोई एल्गोरिदम हल नहीं कर सकता
Cसमस्याएँ जो बहुपदी समय में हल नहीं हो सकतीं
Dसमस्याएँ जो बहुपदी नहीं हैं

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

यदि कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में डाली जाएँ, तो n नोड वाले बाइनरी सर्च ट्री की सबसे खराब स्थिति में ऊँचाई क्या होगी?

Alog₂ n
B√n
Cn (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
D1

12.डेटा संरचनाएँकठिन

एडजेसेंसी मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत V शीर्षों वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च का रनिंग टाइम क्या है?

AO(V)
BO(V + E)
CO(V²)
DO(E log V)

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 8

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F

d(F) =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सा ACID गुण गारंटी देता है कि कमिट किए गए परिवर्तन सिस्टम क्रैश के बाद भी बने रहें?

Aसंगति (Consistency)
Bस्थायित्व (Durability)
Cपृथक्करण (Isolation)
Dपरमाणुता (Atomicity)

16.डेटाबेस और SQLकठिन

कौन-सा आइसोलेशन लेवल डर्टी रीड रोकता है लेकिन नॉन-रिपीटेबल रीड की अनुमति देता है?

ARead uncommitted
BRepeatable read
CSerializable
DRead committed

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

वितरित सेवा-निषेध (DDoS) हमले की विशेषता क्या है?

Aकई समझौता की गई मशीनें किसी लक्ष्य को ट्रैफ़िक से भर देती हैं
Bएक हमलावर पास की कार से अनएन्क्रिप्टेड Wi-Fi ट्रैफ़िक पढ़ता है
Cएक वायरस एक ही PC पर फ़ाइलें हटा देता है
Dएक हमलावर किसी उपयोगकर्ता का पासवर्ड अनुमान लगाता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक 8-पोर्ट स्विच (बिना VLAN) के हर पोर्ट पर एक होस्ट है। कितने टकराव डोमेन और ब्रॉडकास्ट डोमेन हैं?

A1 टकराव डोमेन, 8 ब्रॉडकास्ट डोमेन
B8 टकराव डोमेन, 8 ब्रॉडकास्ट डोमेन
C8 टकराव डोमेन, 1 ब्रॉडकास्ट डोमेन
D1 टकराव डोमेन, 1 ब्रॉडकास्ट डोमेन

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.255.240 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.255.240

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.91.211/28 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.91.211/28

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 220

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

36 = 0010 0100

उलटा हुआ: 1101 1011

+1 → 1101 1100

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1101 1100₂ = 256 − 36 = 220

उत्तर

U = 220

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: b = 12 bit

दो की घातें

2¹¹ = 2048 < 2365

2¹² = 4096 ≥ 2365

उत्तर

b = 12

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: आपातिक कथन

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

q = 1, r = 1: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) ↔ (r → q) = 1

q = 1, r = 0: q → r = 0, r → q = 1, (q → r) ↔ (r → q) = 0

q = 0, r = 1: q → r = 1, r → q = 0, (q → r) ↔ (r → q) = 0

q = 0, r = 0: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) ↔ (r → q) = 1

वर्गीकृत करें

(q → r) ↔ (r → q): 1, 0, 0, 1

4 पंक्तियों में से 2 में 1, बाकी में 0: एक आकस्मिकता (contingency)।

उत्तर

आपातिक कथन

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 2

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

स्तंभ

s → r; p ↔ q; ¬(p ↔ q); ¬s; ¬(p ↔ q) → ¬s; ¬(¬(p ↔ q) → ¬s); (s → r) ∧ ¬(¬(p ↔ q) → ¬s)

p पर बाँटें

p = 1: 1

p = 0: 1

N = 1 + 1 = 2

उत्तर

N = 2

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C)

(B′ + C′)

(A + D′)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C)(B′ + C′)(A + D′)

N = 3

उत्तर

N = 3

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 14

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000 → 1100 → 1110

दशमलव मान

1110₂ = 14

उत्तर

Q = 14

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 13⁻¹ mod 43 = 10

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·13 (mod 43) के रूप में लिखा जाता है।

r = 43, t = 0

r = 13, q = 3, t = 1

r = 4, q = 3, t = −3

r = 1, q = 4, t = 10

व्युत्क्रम

1 ≡ 10·13 (mod 43)

x = 10

जाँच: 13·10 = 130 = 3·43 + 1

उत्तर

13⁻¹ mod 43 = 10

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 15⁷² mod 22 = 5

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

द्विआधारी घातांक

72 = 1001000₂ = 64 + 8

बार-बार वर्ग करना

15¹ ≡ 15 (mod 22)

15² ≡ 5 (mod 22)

15⁴ ≡ 3 (mod 22)

15⁸ ≡ 9 (mod 22)

C · O(V²)

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

विषम शीर्ष

A, B, D, E → 4

दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 12, C: 5

C (5): E: 6

E (6): D: 11, F: 16

D (11)

B (12)

F (16)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F

उपसर्ग लंबाई

255.255.255.240 = /28

उपयोगी होस्ट

2⁴ − 2 = 14

उत्तर

H = 14

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 222

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2⁴ = 16

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊211/16⌋·16 = 208

ब्रॉडकास्ट: 208 + 16 − 1 = 223

उपयोगी होस्ट: 209 … 222

उत्तर

x = 222

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