कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
8-बिट दो का पूरक0−12806403201608040201

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −108 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −1088 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
12-बिट 2 का पूरक, N = ??चिह्न???????????

12-बिट दो के पूरक में संग्रहीत की जा सकने वाली सबसे छोटी (सबसे ऋणात्मक) पूर्णांक N क्या है?

12 bit
N =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
पुनरुक्तिविरोधोक्तिआपातिक कथन

क्या (a → c) ↔ (¬c → ¬a) पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है? अपना उत्तर क्लिक करें।

(a → c) ↔ (¬c → ¬a)
  1. 1पुनरुक्ति
  2. 2विरोधोक्ति
  3. 3आपातिक कथन
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
∀x (¬F(x) → ¬G(x))∃x (F(x) ∧ ¬G(x))∀x (F(x) ∧ ¬G(x))∀x (F(x) → ¬G(x))

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x (F(x) → G(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x (F(x) → G(x))
  1. 1∀x (¬F(x) → ¬G(x))
  2. 2∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
  3. 3∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
  4. 4∀x (F(x) → ¬G(x))
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABCD000111100001111011111

इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।

F = Σm(0, 3, 9, 11, 13)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKD123456

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड D फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0D
  1. 1क्लॉक कोर 1
  2. 2क्लॉक कोर 2
  3. 3क्लॉक कोर 3
  4. 4क्लॉक कोर 4
  5. 5क्लॉक कोर 5
  6. 6क्लॉक कोर 6
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

10x ≡ 8 (mod 13) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 13।

10x ≡ 8 (mod 13)
x =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
26c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (205, 3)d

संदेश m = 26 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (205, 3) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 205e = 3m = 26
c =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

  1. Aऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
  2. Bपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
  3. Cयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
  4. Dसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

  1. Aप्रति वृद्धि O(1)
  2. Bप्रति वृद्धि O(n)
  3. Cप्रति वृद्धि O(log n)
  4. Dप्रति वृद्धि O(n log n)
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

कौन-सी टकराव समाधान (collision resolution) विधि टकराने वाली कुंजियों को उसी बकेट में एक सूची में संग्रहीत करती है?

  1. Aसेपरेट चेनिंग (Separate chaining)
  2. Bक्वाड्रैटिक प्रोबिंग (Quadratic probing)
  3. Cलीनियर प्रोबिंग (Linear probing)
  4. Dडबल हैशिंग (Double hashing)
12.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

  1. AB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
  2. BB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं
  3. CB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
  4. Dसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
10134548413ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

GRANT SELECT ON employees TO alice क्या करता है?

  1. Aalice को employees टेबल की पंक्तियाँ अपडेट और हटाने की अनुमति देता है
  2. Balice को डेटाबेस का स्वामी बनाता है
  3. Cemployees टेबल को alice तक कॉपी करता है
  4. Dउपयोगकर्ता alice को employees टेबल पढ़ने की अनुमति देता है
16.डेटाबेस और SQLकठिन

EXPLAIN (या PostgreSQL में EXPLAIN ANALYZE) किसी क्वेरी के लिए क्या दिखाता है?

  1. Aकेवल रिलेशनल बीजगणित संकेतन में क्वेरी का पुनर्लेखन
  2. Bक्वेरी में हर SQL कीवर्ड का अर्थ
  3. Cक्वेरी चलाने वाले उपयोगकर्ताओं की सूची
  4. Dऑप्टिमाइज़र द्वारा चुनी गई निष्पादन योजना, जैसे स्कैन और जॉइन विधियाँ
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

होस्ट 192.168.10.77/26 का नेटवर्क पता क्या है?

  1. A192.168.10.128
  2. B192.168.10.0
  3. C192.168.10.76
  4. D192.168.10.64
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Shannon के प्रमेय के अनुसार, 255 के सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात वाले 1 MHz चैनल की क्षमता क्या है?

  1. A1 Mbit/s
  2. B2 Mbit/s
  3. C255 Mbit/s
  4. D8 Mbit/s
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/?11111111111111111111100000000000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

एक विभाग को एक ही सबनेट में 1553 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

1553 hosts
p =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.43.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 4 होस्ट, B: 14 होस्ट, C: 25 होस्ट, D: 30 होस्ट, E: 41 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN B के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 4B: 14C: 25D: 30E: 41
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 148

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

108 = 0110 1100
उलटा हुआ: 1001 0011
+1 → 1001 0100

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1001 0100₂ = 256 − 108 = 148

उत्तर

U = 148
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −2048

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

सबसे ऋणात्मक मान

−211 = −2048

उत्तर

N = −2048
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: पुनरुक्ति

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, c = 1: a → c = 1, ¬c = 0, ¬a = 0, ¬c → ¬a = 1, (a → c) ↔ (¬c → ¬a) = 1
a = 1, c = 0: a → c = 0, ¬c = 1, ¬a = 0, ¬c → ¬a = 0, (a → c) ↔ (¬c → ¬a) = 1
a = 0, c = 1: a → c = 1, ¬c = 0, ¬a = 1, ¬c → ¬a = 1, (a → c) ↔ (¬c → ¬a) = 1
a = 0, c = 0: a → c = 1, ¬c = 1, ¬a = 1, ¬c → ¬a = 1, (a → c) ↔ (¬c → ¬a) = 1

वर्गीकृत करें

(a → c) ↔ (¬c → ¬a): 1, 1, 1, 1
हर पंक्ति में 1: पुनरुक्ति।

उत्तर

पुनरुक्ति
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x (F(x) → G(x)) ≡ ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

उत्तर

∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: AB = 00, CD = 00

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

हर 1 के पड़ोसी

पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।

m0: m1, m2, m4, m8 → 0
ABCD000111100001111011111

अकेला 1

m0 = A′B′C′D′ → AB = 00, CD = 00

उत्तर

AB = 00, CD = 00
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

D फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर D को कॉपी करता है: Q⁺ = D।

1: D = 0 → Q = 0
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 1 → Q = 1
4: D = 0 → Q = 0
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 0 → Q = 0

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 4

उत्तर

क्लॉक कोर 4
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 6

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

10 का प्रतिलोम

r = 13, t = 0
r = 10, q = 1, t = 1
r = 3, q = 3, t = −1
r = 1, q = 3, t = 4
10−1 ≡ 4 (mod 13)

हल करें

x ≡ 4·8 = 32 ≡ 6 (mod 13)
जाँच: 10·6 = 60 ≡ 8 (mod 13)

उत्तर

x = 6
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 151

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

3 = 2 + 1
261 ≡ 26 (mod 205)
262 ≡ 61 (mod 205)
263 ≡ 26·61 ≡ 151 (mod 205)

सिफरटेक्स्ट

c = 151

उत्तर

c = 151
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत

यह उत्तर क्यों है

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण दुर्लभ महँगे ऑपरेशनों की लागत को कई सस्ते ऑपरेशनों पर फैलाता है, जिससे किसी भी अनुक्रम के लिए गारंटीशुदा औसत मिलता है।

उत्तर

A · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · प्रति वृद्धि O(1)

यह उत्तर क्यों है

n वृद्धियों में बिट i लगभग n / 2ⁱ बार पलटता है, इसलिए कुल 2n से कम पलटाव होते हैं, यानी प्रति वृद्धि औसत O(1)।

उत्तर

A · प्रति वृद्धि O(1)
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · सेपरेट चेनिंग (Separate chaining)

यह उत्तर क्यों है

चेनिंग प्रत्येक बकेट के लिए एक लिंक्ड लिस्ट (या अन्य संरचना) रखती है; ओपन एड्रेसिंग टेबल में ही कोई अन्य खाली स्थान खोजती है।

उत्तर

A · सेपरेट चेनिंग (Separate chaining)
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

B+ ट्री में आंतरिक नोड केवल खोज का मार्गदर्शन करते हैं और लीफ़ कुंजी क्रम में जुड़े होते हैं, इसलिए रेंज प्रश्न पहली कुंजी खोजकर फिर लीफ़ के साथ चलता है।

उत्तर

D · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

विषम शीर्ष

A, B, C, D, F, G → 6
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 10, C: 13
2. B (10): D: 15, E: 23
3. C (13): E: 17
4. D (15): F: 19
5. E (17)
6. F (19)

चक्र 4

D

उत्तर

D
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: D · उपयोगकर्ता alice को employees टेबल पढ़ने की अनुमति देता है

यह उत्तर क्यों है

GRANT किसी ऑब्जेक्ट पर विशेषाधिकार देता है; SELECT केवल पढ़ने की अनुमति देता है, जबकि INSERT, UPDATE और DELETE अलग विशेषाधिकार हैं।

उत्तर

D · उपयोगकर्ता alice को employees टेबल पढ़ने की अनुमति देता है
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: D · ऑप्टिमाइज़र द्वारा चुनी गई निष्पादन योजना, जैसे स्कैन और जॉइन विधियाँ

यह उत्तर क्यों है

EXPLAIN योजना (इंडेक्स या क्रमिक स्कैन, जॉइन एल्गोरिदम, अनुमानित लागत) दिखाता है; EXPLAIN ANALYZE क्वेरी चलाकर वास्तविक समय भी बताता है।

उत्तर

D · ऑप्टिमाइज़र द्वारा चुनी गई निष्पादन योजना, जैसे स्कैन और जॉइन विधियाँ
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 192.168.10.64

यह उत्तर क्यों है

/26 सबनेट 0, 64, 128 और 192 से शुरू होते हैं। 77 ब्लॉक 64–127 में आता है, इसलिए नेटवर्क पता 192.168.10.64 है।

उत्तर

D · 192.168.10.64
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 8 Mbit/s

यह उत्तर क्यों है

C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s। यह शोरयुक्त चैनल पर त्रुटि-रहित डेटा दर की ऊपरी सीमा है।

उत्तर

D · 8 Mbit/s
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 21

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

210 − 2 = 1022 < 1553
211 − 2 = 2046 ≥ 1553 → h = 11

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 11 = 21

उत्तर

p = /21
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 128

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

E: 41 होस्ट → 26 = 64 (/26)
D: 30 होस्ट → 25 = 32 (/27)
C: 25 होस्ट → 25 = 32 (/27)
B: 14 होस्ट → 24 = 16 (/28)
A: 4 होस्ट → 23 = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

E: .0 – .63
D: .64 – .95
C: .96 – .127
B: .128 – .143
A: .144 – .151

उत्तर

x = 128

LAN B: 192.168.43.128/28।

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