कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −65 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −658 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक असंपीड़ित छवि 256 × 256 पिक्सेल की है, प्रति पिक्सेल 32 बिट। यह KiB में (1 KiB = 1024 बाइट) कितनी मेमोरी M लेती है?

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र ¬(c → a) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(c → a)

1c ∧ ¬a
2c → ¬a
3¬c → ¬a
4¬c ∨ ¬a

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p ∨ r; ¬p दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

p ∨ r¬p

1p
2r
3¬r
4p ∧ r

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12, 13) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12, 13)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड D फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0D

1क्लॉक कोर 1
2क्लॉक कोर 2
3क्लॉक कोर 3
4क्लॉक कोर 4
5क्लॉक कोर 5
6क्लॉक कोर 6
7क्लॉक कोर 7

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(21) ज्ञात करें, यानी 1 से 21 तक के वे पूर्णांक जो 21 से सहअभाज्य हैं।

n = 21 = 3·7

φ(21) =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

13 अभाज्य है। 30¹⁶⁰⁷⁸ mod 13 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 13k = 16078

30¹⁶⁰⁷⁸ mod 13 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

किसी समस्या में इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure) होने का क्या अर्थ है?

Aहर उप-समस्या का आकार समान है
Bसमस्या को स्थिर समय में हल किया जा सकता है
Cएक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
Dसमस्या का ठीक एक इष्टतम समाधान है, जो हर उप-समस्या में साझा होता है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

जब कुछ किनारा भार ऋणात्मक हों, तो डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम ग़लत परिणाम क्यों दे सकता है?

Aशीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है
Bयह केवल अप्रत्यक्ष (undirected) ग्राफ़ पर काम करता है
Cयह हर ऋणात्मक किनारे पर अनंत लूप में चला जाता है
Dप्रायोरिटी क्यू में ऋणात्मक संख्याएँ संग्रहीत नहीं की जा सकतीं

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

निश्चित वर्णमाला वाले ट्राई (trie) में L लंबाई के शब्द को खोजने में कितना समय लगता है?

AO(log n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
BO(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
CO(L × n)
DO(n), जहाँ n शब्दों की संख्या है

12.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी सर्च ट्री से दो चाइल्ड वाले नोड को हटाना आमतौर पर कैसे किया जाता है?

Aउसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
Bपूरे सबट्री को हटाकर
Cउसे रूट से अदला-बदली करके
Dउसके नीचे के सबट्री को शुरू से दोबारा बनाकर और उसमें मौजूद हर कुंजी को फिर से डालकर

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 11 शीर्ष और 14 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 11|E| = 14

k =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक employees टेबल में manager_id कॉलम है जो किसी अन्य कर्मचारी को संदर्भित करता है। हर कर्मचारी को उसके मैनेजर के नाम के साथ कैसे सूचीबद्ध करते हैं?

AUNION ALL और WHERE फ़िल्टर का उपयोग करके टेबल को स्वयं से मिलाकर
Bकेवल GROUP BY manager_id का उपयोग करके
Cदो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर
Dडिस्क पर टेबल की दूसरी प्रति बनाकर

16.डेटाबेस और SQLकठिन

टू-फ़ेज़ लॉकिंग (2PL) क्या सुनिश्चित करता है?

Aकि किसी लॉक की आवश्यकता नहीं होती
Bकि डेडलॉक कभी नहीं हो सकते
Cकॉन्फ़्लिक्ट-सीरियलाइज़ेबल शेड्यूल
Dकि ट्रांज़ैक्शन कभी प्रतीक्षा नहीं करते

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा IPv4 हेडर फ़ील्ड पैकेटों को रूटिंग लूप में हमेशा घूमने से रोकता है?

AType of service
BIdentification
CTime to live (TTL)
Dहेडर चेकसम

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Diffie-Hellman कुंजी विनिमय अपने आप में क्या प्राप्त करता है, और इसकी कमज़ोरी क्या है?

Aयह पासवर्ड से दोनों उपयोगकर्ताओं का प्रमाणीकरण करता है, पर इसे केंद्रीय सर्वर चाहिए
Bयह वेबसाइटों के प्रमाणपत्रों पर हस्ताक्षर करता है, पर केवल छोटी कुंजियों के साथ काम करता है
Cयह सार्वजनिक चैनल पर एक साझा रहस्य पर सहमति करता है, पर अकेले यह man-in-the-middle के लिए खुला है
Dयह सार्वजनिक चैनल पर बड़े डेटा को सीधे एन्क्रिप्ट करता है, पर बड़ी फ़ाइलों और वीडियो के लिए बहुत धीमा है

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.84.0/24 को /26 सबनेटों में बाँटा गया है, जिन्हें सबसे निचले पते से 1, 2, 3, … क्रमांकित किया गया है (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)। सबनेट 2 के ब्रॉडकास्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

192.168.84.0/24/26सबनेट 2 (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)

x =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक राउटर के पास इन नेटवर्कों के लिए रूट हैं: 10.218.150.0/24, 10.218.151.0/24, 10.218.152.0/24, 10.218.153.0/24, 10.218.154.0/24, 10.218.155.0/24, 10.218.156.0/24, 10.218.157.0/24। इन सबको कवर करने वाले एकल सारांश रूट की सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p क्या है?

10.218.150.0/24 … 10.218.157.0/24

p =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 191

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

65 = 0100 0001

उलटा हुआ: 1011 1110

+1 → 1011 1111

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1011 1111₂ = 256 − 65 = 191

उत्तर

U = 191

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: M = 256 KiB

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

बिट और बाइट

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

KiB में बदलें

262144/1024 = 256 KiB

उत्तर

M = 256 KiB

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: c ∧ ¬a

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b: एकमात्र पंक्ति जहाँ निहितार्थ विफल होता है।

¬(c → a) ≡ c ∧ ¬a

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, c = 1: 0 | 0 0 1 0

a = 1, c = 0: 0 | 0 1 0 1

a = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, c = 0: 0 | 0 1 1 1

उत्तर

c ∧ ¬a

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: r

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 0, r = 1: p = 0, r = 1, ¬r = 0, p ∧ r = 0

निष्कर्ष

r (वियोजक न्यायवाक्य)

उत्तर

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

B′C′D

B′CD′

AC′

A′CD

न्यूनतम SOP रूप

F = B′C′D + B′CD′ + AC′ + A′CD

N = 4

उत्तर

N = 4

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

D फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर D को कॉपी करता है: Q⁺ = D।

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 4

उत्तर

क्लॉक कोर 4

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(21) = 12

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

21 = 3·7

टोशेंट

φ(21) = φ(3)·φ(7) = 2·6 = 12

उत्तर

φ(21) = 12

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 30¹⁶⁰⁷⁸ mod 13 = 9

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

A · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 4

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

11 − 1 = 10

हटाई जाने वाली कोरें

k = 14 − 10 = 4

उत्तर

k = 4

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: C

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 2

2. B (2): C: 10, D: 6, E: 5

3. E (5): F: 13

4. D (6)

5. C (10)

Diffie-Hellman दो पक्षों को वही रहस्य निकालने देता है जिसकी गणना छिपकर सुनने वाले नहीं कर सकते। बीच में बैठा हमलावर हर पक्ष के साथ अलग विनिमय चला सकता है, जब तक कि मानों पर हस्ताक्षर न हों या उनका अन्यथा प्रमाणीकरण न हो।

उत्तर

C · यह सार्वजनिक चैनल पर एक साझा रहस्य पर सहमति करता है, पर अकेले यह man-in-the-middle के लिए खुला है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 127

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ब्लॉक आकार

2⁶ = 64

सबनेट संख्या 2

नेटवर्क: (2 − 1)·64 = 64

ब्रॉडकास्ट: 64 + 64 − 1 = 127

उत्तर

x = 127

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 20

रूट सारांशीकरण: सारांश रूट a.b.c.0/p उन सभी नेटवर्कों को कवर करता है जिनके पहले p बिट मेल खाते हैं। पहले और अंतिम नेटवर्क के भिन्न ऑक्टेट को बाइनरी में लिखें; साझा अग्रणी बिटों की संख्या, उससे पहले के ऑक्टेटों के बिट जोड़कर, सबसे लंबा सारांश उपसर्ग है।

बिटों की तुलना करें

150 = 10010110

157 = 10011101

साझा अग्रणी बिट: 4

उपसर्ग लंबाई

p = 16 + 4 = 20

उत्तर

p = /20

सारांश रूट: 10.218.144.0/20 (यह 8 ऐसे नेटवर्क भी कवर करता है जो सूची में नहीं हैं)।

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