कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−111 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −1118 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1101 1100 AND 0001 0110 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1101 1100AND0001 0110

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p)

N =

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x (P(x) ∧ Q(x))

1∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
3∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
4∀x (P(x) → ¬Q(x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 15) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 15)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 3-बिट द्विआधारी अप काउंटर 0 (दशमलव, Q = 000) से शुरू होता है। 28 क्लॉक पल्स के बाद वह कौन-सी गिनती Q (दशमलव में) दिखाएगा?

Q₀ = 028n = 3

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

31x ≡ 18 (mod 35) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 35।

31x ≡ 18 (mod 35)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

47 अभाज्य है। 16¹²⁴⁸ mod 47 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 47k = 1248

16¹²⁴⁸ mod 47 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

पहुँच योग्य बेस केस के बिना रिकर्सिव फ़ंक्शन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Aयह तब तक स्वयं को कॉल करता रहता है जब तक कॉल स्टैक ओवरफ़्लो न हो जाए
Bयह O(1) समय में चलता है
Cयह अपने आप 0 लौटाता है
Dकंपाइलर हमेशा इसे ऐसे लूप में बदल देता है जो सुरक्षित रूप से समाप्त होता है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बड़े n के लिए n! और 2ⁿ की तुलना कैसी है?

An!, O(n²) है
Bn!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
Cदोनों एक ही दर से बढ़ते हैं
D2ⁿ, n! से तेज़ बढ़ता है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

Aकेवल हैश टेबल
Bहीप
Cक्यू
Dस्टैक

12.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी डेटा संरचना O(1) get और put के साथ LRU (least recently used) कैश को सपोर्ट करती है?

Aकेवल बाइनरी सर्च ट्री
Bएक अकेला क्रमबद्ध ऐरे
Cडबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
Dकेवल स्टैक

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 19 शीर्ष और 19 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 19|E| = 19

k =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 3 की कितनी वॉक B से C तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक टेबल में केवल एक क्लस्टर्ड इंडेक्स क्यों हो सकता है?

ASQL मानक किसी टेबल पर एक से अधिक इंडेक्स की अनुमति नहीं देता
Bक्लस्टर्ड इंडेक्स बहुत अधिक मेमोरी उपयोग करते हैं
Cपंक्तियाँ भौतिक रूप से केवल एक क्रम में संग्रहित की जा सकती हैं
Dक्लस्टर्ड इंडेक्स केवल प्राइमरी की पर हो सकते हैं

16.डेटाबेस और SQLकठिन

SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp क्या लौटाता है?

Aएक त्रुटि क्योंकि name, GROUP BY में नहीं है
Bप्रति विभाग एक पंक्ति, उसके औसत salary के साथ
Cहर कर्मचारी पंक्ति, उसके विभाग के औसत salary के साथ
Dकेवल वे कर्मचारी जो अपने विभाग के औसत से अधिक कमाते हैं

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

जब कोई क्लाइंट DHCP से पता प्राप्त करता है, तो संदेशों का सामान्य क्रम क्या है?

ARequest, Offer, Discover, Acknowledge
BDiscover, Request, Offer, Acknowledge
CDiscover, Offer, Request, Acknowledge
DOffer, Discover, Acknowledge, Request

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

TCP कंजेशन कंट्रोल का "slow start" चरण:

Aकेवल UDP द्वारा उपयोग किया जाता है
Bसीमा (threshold) या हानि होने तक कंजेशन विंडो को घातांकीय रूप से बढ़ाता है
Cविंडो को एक सेगमेंट पर स्थिर रखता है
Dपैकेट हानि का पता चलने तक हर राउंड ट्रिप में कंजेशन विंडो को आधा कर देता है

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 351 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

351 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.47.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 50 होस्ट, B: 4 होस्ट, C: 13 होस्ट, D: 14 होस्ट, E: 27 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN E के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 50B: 4C: 13D: 14E: 27

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 145

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

111 = 0110 1111

उलटा हुआ: 1001 0000

+1 → 1001 0001

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1001 0001₂ = 256 − 111 = 145

उत्तर

U = 145

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 20

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

AND केवल वहीं 1 देता है जहाँ दोनों बिट 1 हों।

1101 1100

AND 0001 0110

= 0001 0100

परिणाम का मान

0001 0100₂ = 20

उत्तर

R = 20

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 4

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 1, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬r = 1, ¬r ∧ p = 1, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 1, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 0, q ↔ p = 0, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬r = 1, ¬r ∧ p = 1, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 0, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 0, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬r = 1, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 0, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬r = 0, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 0, q ↔ p = 1, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬r = 1, ¬r ∧ p = 0, (r → q) ∨ (¬r ∧ p) = 1, q ↔ p = 1, ((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p) = 1

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

((r → q) ∨ (¬r ∧ p)) ↔ (q ↔ p): 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1

N = 4

उत्तर

N = 4

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x (P(x) → ¬Q(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))

उत्तर

∀x (P(x) → ¬Q(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B′ + C + D)

(A + C)

(A + B′ + D′)

(A′ + B + C′ + D′)

न्यूनतम POS रूप

F = (B′ + C + D)(A + C)(A + B′ + D′)(A′ + B + C′ + D′)

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

पूरे चक्र

हर 8 पल्स काउंटर को उसी अवस्था में वापस ले आते हैं।

28 = 3·8 + 4

शेष पल्स के बाद गिनती

Q = (0 + 4) mod 8 = 4

Q = 100₂

उत्तर

Q = 4

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 13

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

31 का प्रतिलोम

r = 35, t = 0

r = 31, q = 1, t = 1

r = 4, q = 7, t = −1

r = 3, q = 1, t = 8

r = 1, q = 3, t = −9

31⁻¹ ≡ 26 (mod 35)

हल करें

x ≡ 26·18 = 468 ≡ 13 (mod 35)

जाँच: 31·13 = 403 ≡ 18 (mod 35)

उत्तर

x = 13

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 16¹²⁴⁸ mod 47 = 2

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

C · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

19 − 1 = 18

हटाई जाने वाली कोरें

k = 19 − 18 = 1

उत्तर

k = 1

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 6

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

B · सीमा (threshold) या हानि होने तक कंजेशन विंडो को घातांकीय रूप से बढ़ाता है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 23

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

2⁸ − 2 = 254 < 351

2⁹ − 2 = 510 ≥ 351 → h = 9

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 9 = 23

उत्तर

p = /23

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 64

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

A: 50 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

E: 27 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

D: 14 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

C: 13 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

B: 4 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

A: .0 – .63

E: .64 – .95

D: .96 – .111

C: .112 – .127

B: .128 – .135

उत्तर

x = 64

LAN E: 192.168.47.64/27।

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