कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −34 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −348 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0101 0001 << 2 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0101 0001<< 2

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p))

N =

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य c → b; b → a; ¬a दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

c → bb → a¬a

1a
2¬c
3¬c ∧ a
4c

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।

F = Σm(0, 9, 10, 11, 14, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक रिंग काउंटर 8 D फ़्लिप-फ़्लॉप से बना है जिसमें अंतिम निर्गत पहले निवेश में लौटाया जाता है, और वह एकल 1 से शुरू होता है। वह कितनी भिन्न अवस्थाओं N से गुज़रता है?

n = 8

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

31 के मापांक में 20 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 31 और 20·x ≡ 1 (mod 31)।

a = 20n = 31

20⁻¹ mod 31 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

73 अभाज्य है। 20⁹³⁷²⁵ mod 73 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 73k = 93725

20⁹³⁷²⁵ mod 73 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कई लाइब्रेरी सॉर्टिंग रूटीन बहुत छोटे सबऐरे के लिए इंसर्शन सॉर्ट पर क्यों चली जाती हैं?

Aइंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
Bरिकर्सिव एल्गोरिदम 10 से कम तत्वों वाले ऐरे नहीं सँभाल सकते
Cबड़े इनपुट पर इंसर्शन सॉर्ट किसी भी अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम से कम मेमोरी उपयोग करता है
Dइंसर्शन सॉर्ट वर्स्ट केस में O(n log n) है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

AX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
BX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
CX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
DX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

सर्कुलर बफ़र (रिंग बफ़र) का उपयोग आमतौर पर किसे लागू करने के लिए किया जाता है?

Aहैश फ़ंक्शन
Bबाइनरी सर्च ट्री
Cग्राफ़ ट्रैवर्सल
Dनिश्चित आकार की क्यू

12.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank और path compression के साथ union-find (डिसजॉइंट सेट) संरचना की प्रति ऑपरेशन परिशोधित (amortised) लागत क्या है?

Aठीक O(log n)
BO(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
CO(n)
DO(n²)

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E

d(E) =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

दो SELECT क्वेरी के बीच उपयोग करने पर INTERSECT क्या लौटाता है?

Aदोनों परिणामों की सभी पंक्तियाँ
Bपरिणामों का कार्तीय गुणनफल
Cवे पंक्तियाँ जो पहले परिणाम में हैं पर दूसरे में नहीं
Dवे पंक्तियाँ जो दोनों परिणामों में हैं

16.डेटाबेस और SQLकठिन

प्रोडक्शन क्वेरी में NATURAL JOIN को जोखिमभरा क्यों माना जाता है?

Aयह प्राइमरी और फ़ॉरेन की को अनदेखा करता है और केवल NULL पंक्तियाँ रखता है
Bयह समान नाम वाले हर कॉलम पर जोड़ता है, इसलिए एक नया कॉलम चुपचाप परिणाम बदल सकता है
Cयह किसी भी डेटाबेस में समर्थित नहीं है
Dयह हमेशा कार्तीय गुणनफल लौटाता है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा होस्ट 10.1.2.3 के समान /16 सबनेट में है?

A10.1.200.5
B11.1.2.3
C10.2.2.3
D10.0.2.3

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

मानक Ethernet पेलोड की अधिकतम ट्रांसमिशन यूनिट (MTU) क्या है?

A64 बाइट
B65,535 बाइट
Cहर नेटवर्क में 9000 बाइट
D1500 बाइट

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.255.252 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.255.252

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक राउटर के पास इन नेटवर्कों के लिए रूट हैं: 10.91.216.0/24, 10.91.217.0/24। इन सबको कवर करने वाले एकल सारांश रूट की सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p क्या है?

10.91.216.0/24 … 10.91.217.0/24

p =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 222

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

34 = 0010 0010

उलटा हुआ: 1101 1101

+1 → 1101 1110

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1101 1110₂ = 256 − 34 = 222

उत्तर

U = 222

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 68

बिट-दर-बिट

2 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 2 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0101 0001 << 2

= 0100 0100

परिणाम का मान

0100 0100₂ = 68

उत्तर

R = 68

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 4

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: r ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 0, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r ↔ p = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 1, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: r ↔ p = 1, ¬q = 1, ¬q ∧ p = 1, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 1, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: r ↔ p = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ p = 1, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 0, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r ↔ p = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 1, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 0, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r ↔ p = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 1, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: r ↔ p = 1, ¬q = 1, ¬q ∧ p = 0, (r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p) = 0, ¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)) = 1

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

¬((r ↔ p) ↔ (¬q ∧ p)): 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1

N = 4

उत्तर

N = 4

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬c

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

a = 0, b = 0, c = 0: a = 0, ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, c = 0

निष्कर्ष

¬c (दो बार मोडस टोलेंस)

उत्तर

¬c

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: AB = 00, CD = 00

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

हर 1 के पड़ोसी

पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।

m0: m1, m2, m4, m8 → 0

अकेला 1

m0 = A′B′C′D′ → AB = 00, CD = 00

उत्तर

AB = 00, CD = 00

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 8

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

8 फ़्लिप-फ़्लॉप के लिए अनुक्रम

10000000 → 01000000 → 00100000 → 00010000 → 00001000 → 00000100 → 00000010 → 00000001

अवस्थाओं की संख्या

N = 8

उत्तर

N = 8

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 20⁻¹ mod 31 = 14

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·20 (mod 31) के रूप में लिखा जाता है।

r = 31, t = 0

r = 20, q = 1, t = 1

r = 11, q = 1, t = −1

r = 9, q = 1, t = 2

r = 2, q = 4, t = −3

r = 1, q = 2, t = 14

व्युत्क्रम

1 ≡ 14·20 (mod 31)

x = 14

जाँच: 20·14 = 280 = 9·31 + 1

उत्तर

20⁻¹ mod 31 = 14

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 20⁹³⁷²⁵ mod 73 = 68

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

B · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

A, B, C, D → 4

दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 8, C: 13

B (8): D: 18, E: 16

C (13)

E (16)

D (18): F: 32

F (32)

सबसे छोटा पथ

A → B → E

उपसर्ग लंबाई

255.255.255.252 = /30

उपयोगी होस्ट

2² − 2 = 2

उत्तर

H = 2

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 23

रूट सारांशीकरण: सारांश रूट a.b.c.0/p उन सभी नेटवर्कों को कवर करता है जिनके पहले p बिट मेल खाते हैं। पहले और अंतिम नेटवर्क के भिन्न ऑक्टेट को बाइनरी में लिखें; साझा अग्रणी बिटों की संख्या, उससे पहले के ऑक्टेटों के बिट जोड़कर, सबसे लंबा सारांश उपसर्ग है।

बिटों की तुलना करें

216 = 11011000

217 = 11011001

साझा अग्रणी बिट: 7

उपसर्ग लंबाई

p = 16 + 7 = 23

उत्तर

p = /23

सारांश रूट: 10.91.216.0/23

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