कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−64 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −648 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0011 0110 << 1 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0011 0110<< 1

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र ¬(r ∨ q) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(r ∨ q)

1¬r ∧ q
2¬r ∧ ¬q
3r ∨ ¬q
4¬r ∨ ¬q

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य r ∨ q; r → p; q → p दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

r ∨ qr → pq → p

1r
2r ∧ q
3¬p
4p

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 11, 12, 13) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 11, 12, 13)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 4-बिट रिंग काउंटर Q₃Q₂Q₁Q₀ 1000 से शुरू होता है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) और Q₃ को Q₀ मिलता है। 8 क्लॉक कोरों के बाद अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10008

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

67x ≡ 28 (mod 78) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 78।

67x ≡ 28 (mod 78)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

56x ≡ 48 (mod 60) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

56x ≡ 48 (mod 60)

x =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1, 3 और 4 के सिक्कों और 6 की राशि के साथ, ग्रीडी "पहले सबसे बड़ा सिक्का" विधि इष्टतम की तुलना में कितने सिक्के उपयोग करती है?

Aग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
Bग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
Cग्रीडी 2 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
Dग्रीडी 4 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

Aप्रति वृद्धि O(log n)
Bप्रति वृद्धि O(n)
Cप्रति वृद्धि O(n log n)
Dप्रति वृद्धि O(1)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

Aहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
Bउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
Cउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
Dहमेशा उसका पैरेंट

12.डेटा संरचनाएँकठिन

एक डायनेमिक ऐरे भर जाने पर दोगुना होता है। कई कार्यान्वयन उसे आधा भरा होने के बजाय केवल एक-चौथाई भरा होने पर ही क्यों छोटा करते हैं?

Aसीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
Bक्योंकि आधे पर आधा करने से तत्व खो जाएँगे
Cक्योंकि मेमोरी आवंटक मेमोरी को केवल ब्लॉक के चौथाई भागों में मुक्त कर सकता है
Dऐरे को सॉर्टेड रखने के लिए

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कॉलमों पर इंडेक्स क्यों बनाए जाते हैं?

Aडिस्क स्थान बचाने के लिए
Bउन कॉलमों पर खोज और जॉइन को तेज़ करने के लिए
CNULL मानों को रोकने के लिए
Dउन कॉलमों पर इंसर्ट और अपडेट को तेज़ करने के लिए

16.डेटाबेस और SQLकठिन

x NULL है और y = 1 है। शर्त (x > 5 OR y = 1) का मान क्या है?

AFALSE
BUNKNOWN
CTRUE
DNULL, इसलिए पंक्ति हमेशा अस्वीकार होती है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

DNS में MX रिकॉर्ड क्या निर्दिष्ट करता है?

Aवे मेल सर्वर जो किसी डोमेन के लिए ईमेल स्वीकार करते हैं
Bकिसी ज़ोन के नेम सर्वर
Cकिसी अन्य होस्ट का उपनाम
Dवेब सर्वर का IPv4 पता

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

इनमें से कौन-सा पता सार्वजनिक (RFC 1918 निजी नहीं) IPv4 पता है?

A172.32.0.1
B172.31.0.1
C192.168.255.1
D10.255.0.1

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 433 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

433 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.142.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 45 होस्ट, B: 7 होस्ट, C: 109 होस्ट, D: 20 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN D के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 45B: 7C: 109D: 20

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 192

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

64 = 0100 0000

उलटा हुआ: 1011 1111

+1 → 1100 0000

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1100 0000₂ = 256 − 64 = 192

उत्तर

U = 192

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 108

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

1 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 1 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0011 0110 << 1

= 0110 1100

परिणाम का मान

0110 1100₂ = 108

उत्तर

R = 108

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬r ∧ ¬q

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

डी मॉर्गन: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b। ∨, ∧ बन जाता है और दोनों भागों का निषेध होता है।

¬(r ∨ q) ≡ ¬r ∧ ¬q

सत्यमान सारणी से जाँच

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0

q = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 1

q = 0, r = 1: 0 | 0 0 1 1

q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 1

उत्तर

¬r ∧ ¬q

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 1, q = 1, r = 1: r = 1, r ∧ q = 1, ¬p = 0, p = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r = 0, r ∧ q = 0, ¬p = 0, p = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r = 1, r ∧ q = 0, ¬p = 0, p = 1

निष्कर्ष

p (स्थिति-विभाजन द्वारा उपपत्ति)

उत्तर

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

B′C′D′

A′B′D′

ABC′

AB′CD

न्यूनतम SOP रूप

F = B′C′D′ + A′B′D′ + ABC′ + AB′CD

N = 4

उत्तर

N = 4

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 8

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000

दशमलव मान

1000₂ = 8

उत्तर

Q = 8

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 40

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

67 का प्रतिलोम

r = 78, t = 0

r = 67, q = 1, t = 1

r = 11, q = 6, t = −1

r = 1, q = 11, t = 7

67⁻¹ ≡ 7 (mod 78)

हल करें

x ≡ 7·28 = 196 ≡ 40 (mod 78)

जाँच: 67·40 = 2680 ≡ 28 (mod 78)

उत्तर

x = 40

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 3

gcd से भाग दें

gcd(56, 60) = 4

14x ≡ 12 (mod 15)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

14⁻¹ ≡ 14 (mod 15) → x ≡ 3 (mod 15)

60 के मापांक में हल

x ∈ {3, 18, 33, 48}

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

A, C, D, E → 4

दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 14, C: 6

2. C (6): B: 9

3. B (9): D: 19

4. D (19): E: 31, F: 33, G: 26

5. G (26)

6. E (31)