कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−32 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −328 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1010 0111 OR 0010 1100 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1010 0111OR0010 1100

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र ¬(r ∧ q) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(r ∧ q)

1¬r ∧ ¬q
2¬r ∨ q
3¬r ∧ q
4¬r ∨ ¬q

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 13, 14) + d(4, 6, 8) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने लिटरल L हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 13, 14) + d(4, 6, 8)

L =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 4 (mod 6) और x ≡ 12 (mod 13)।

x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 12 (mod 13)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

संदेश m = 176 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (629, 13) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 629e = 13m = 176

c =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

गैर-ऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में एक स्रोत से सबसे छोटे पथ कौन-सा एल्गोरिदम खोजता है?

ADijkstra का एल्गोरिदम
BKruskal का एल्गोरिदम
Cडेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (DFS)
Dहर स्थिति में Bellman–Ford आवश्यक है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हैश टेबल में औसत लुकअप O(1) लेकिन वर्स्ट केस O(n) क्यों होता है?

Aऐरे में एक्सेस O(n) होता है
Bकई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं
Cहैश फ़ंक्शन धीमे होते हैं
Dकुंजियों को पहले सॉर्ट करना पड़ता है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

Aहमेशा उसका पैरेंट
Bउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
Cहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
Dउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड

12.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank और path compression के साथ union-find (डिसजॉइंट सेट) संरचना की प्रति ऑपरेशन परिशोधित (amortised) लागत क्या है?

Aठीक O(log n)
BO(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
CO(n²)
DO(n)

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₅ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₅

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

LEFT JOIN क्या लौटाता है?

Aकेवल दाईं टेबल की सभी पंक्तियाँ
Bवे पंक्तियाँ जो किसी भी टेबल में मेल नहीं खातीं
Cबाईं टेबल की सभी पंक्तियाँ और दाईं टेबल की मेल खाने वाली पंक्तियाँ, जहाँ मेल न हो वहाँ NULL के साथ
Dदोनों टेबलों की केवल मेल खाने वाली पंक्तियाँ

16.डेटाबेस और SQLकठिन

अंक 90, 90 और 80 हैं। RANK() OVER (ORDER BY score DESC) कौन-से मान देता है?

A1, 1, 3
B2, 2, 3
C1, 1, 2
D1, 2, 3

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

ARP क्या करता है?

Aस्थानीय नेटवर्क से जुड़ने पर होस्टों को अपने आप IP पते आवंटित करता है
Bडोमेन नामों को resolve करता है
Cइंटरनेट पर पैकेट रूट करता है
Dस्थानीय नेटवर्क पर किसी IP पते से संबंधित MAC पता खोजता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक फ़ायरवॉल सभी ICMP को रोकता है। छोटे वेब अनुरोध काम करते हैं, पर कुछ मार्गों पर बड़े डाउनलोड अटक जाते हैं। संभावित कारण क्या है?

APath MTU discovery विफल होती है क्योंकि "fragmentation needed" संदेश रोके जाते हैं
BTLS प्रमाणपत्र ICMP पर भेजे जाते हैं
CDNS को नाम resolve करने के लिए ICMP चाहिए
DTCP बिना ICMP के कनेक्शन नहीं खोल सकता

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 4 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/244 subnets

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.242.84/29 है। उसके सबनेट के ब्रॉडकास्ट पते की अंतिम संख्या (चौथा ऑक्टेट) x क्या है?

10.20.242.84/29

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 224

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

32 = 0010 0000

उलटा हुआ: 1101 1111

+1 → 1110 0000

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1110 0000₂ = 256 − 32 = 224

उत्तर

U = 224

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 175

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

1010 0111

OR 0010 1100

= 1010 1111

परिणाम का मान

1010 1111₂ = 175

उत्तर

R = 175

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬r ∨ ¬q

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

डी मॉर्गन: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b। ∧, ∨ बन जाता है और दोनों भागों का निषेध होता है।

¬(r ∧ q) ≡ ¬r ∨ ¬q

सत्यमान सारणी से जाँच

q = 1, r = 1: 0 | 0 1 0 0

q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 1

q = 0, r = 1: 1 | 0 0 0 1

q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1

उत्तर

¬r ∨ ¬q

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

उत्तर

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

A′CD

A′B′D

A′B′C

AB′C′D′

न्यूनतम SOP रूप

F = A′CD + A′B′D + A′B′C + AB′C′D′

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 9

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

B′C′D′, BCD′, A′D′, ABC′D

न्यूनतम आवरण

F = BCD′ + A′D′ + ABC′D

L = 9

उत्तर

L = 9

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 64

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

पहली सर्वांगसमता

x = 4 + 6k

दूसरी सर्वांगसमता

4 + 6k ≡ 12 (mod 13) → 6k ≡ 8 (mod 13)

k ≡ 11·8 ≡ 10 (mod 13)

परिणाम

x = 4 + 6·10 = 64

x = 64

जाँच: 64 mod 6 = 4, 64 mod 13 = 12

उत्तर

x = 64

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 469

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

13 = 8 + 4 + 1

176¹ ≡ 176 (mod 629)

176² ≡ 155 (mod 629)

B · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 3, C: 7

2. B (3): D: 18

3. C (7): E: 21

4. D (18): F: 26

5. E (21)

PMTUD छोटे MTU को जानने के लिए ICMP संदेशों पर निर्भर करता है। यदि वे गिरा दिए जाएँ, तो बड़े पैकेट चुपचाप गायब हो जाते हैं, जिससे "black hole" कनेक्शन बनता है।

उत्तर

A · Path MTU discovery विफल होती है क्योंकि "fragmentation needed" संदेश रोके जाते हैं

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 62

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

2² = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

प्रति सबनेट होस्ट

2⁶ − 2 = 62

उत्तर

H = 62

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 87

ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊84/8⌋·8 = 80

ब्रॉडकास्ट: 80 + 8 − 1 = 87

उपयोगी होस्ट: 81 … 86

उत्तर

x = 87

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