कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −7 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −78 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1011 0100 OR 0101 0100 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1011 0100OR0101 0100

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप (q ∧ r) → ¬p को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। शुरू में कौन-सा कथन मानेंगे? उस पर क्लिक करें।

(q ∧ r) → ¬p

1¬(q ∧ r) ∧ ¬p
2¬(q ∧ r) → ¬¬p
3¬(q ∧ r) ∧ ¬¬p
4(q ∧ r) ∧ ¬¬p

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x (P(x) ∧ Q(x))

1∀x (P(x) → ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
4∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = C, I₁ = C′, I₂ = C′, I₃ = C से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = CI₁ = C′I₂ = C′I₃ = C

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 8, 9, 10, 11) + d(4, 6, 12, 14) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने लिटरल L हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 7, 8, 9, 10, 11) + d(4, 6, 12, 14)

L =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

83 के मापांक में 31 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 83 और 31·x ≡ 1 (mod 83)।

a = 31n = 83

31⁻¹ mod 83 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 13 और q = 19 तथा सार्वजनिक घातांक e = 7 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 13q = 19e = 7

d =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1,000,000 तत्वों के सॉर्टेड ऐरे पर बाइनरी सर्च को वर्स्ट केस में लगभग कितनी तुलनाएँ चाहिए?

Aलगभग 500,000
Bलगभग 100
Cलगभग 1,000
Dलगभग 20

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग केवल किसके लिए संभव है?

Aऋणात्मक वेट वाले ग्राफ़
Bडायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ (DAG)
Cकम्प्लीट ग्राफ़
Dअनडायरेक्टेड ग्राफ़

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

किनारों में गिनी गई ऊँचाई h वाले पर्फ़ेक्ट बाइनरी ट्री में कितने नोड होते हैं?

A2h + 1
B2^h+1 − 1
Ch²
D2^h

12.डेटा संरचनाएँकठिन

O(1) अतिरिक्त मेमोरी से कैसे पता लगाएँ कि सिंगली लिंक्ड लिस्ट में चक्र है या नहीं?

Aहर देखे गए नोड को एक हैश सेट में संग्रहीत करें
Bलिस्ट सॉर्ट करके दोहराव खोजें
Cनोड तब तक गिनें जब तक गिनती लिस्ट-लंबाई फ़ील्ड से अधिक न हो जाए
Dएक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 8

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सी क्वेरी हर विभाग में सबसे अधिक salary लौटाती है?

ASELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
BSELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept
CSELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
DSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept

16.डेटाबेस और SQLकठिन

अंक 90, 90 और 80 हैं। RANK() OVER (ORDER BY score DESC) कौन-से मान देता है?

A1, 1, 2
B1, 2, 3
C2, 2, 3
D1, 1, 3

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक /26 IPv4 सबनेट में कितने उपयोग योग्य होस्ट पते होते हैं?

A30
B62
C64
D126

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

स्लाइडिंग-विंडो प्रोटोकॉल में, एक फ़्रेम खोने के बाद Go-Back-N, Selective Repeat से कैसे भिन्न है?

AGo-Back-N खोया फ़्रेम और उसके बाद के सभी फ़्रेम फिर से भेजता है; Selective Repeat केवल खोया फ़्रेम
BGo-Back-N केवल खोया फ़्रेम फिर से भेजता है; Selective Repeat वह फ़्रेम और उसके बाद के सभी फ़्रेम फिर से भेजता है
Cदोनों शुरुआत से पूरी विंडो फिर से भेजते हैं
Dकोई भी खोए फ़्रेम कभी फिर से नहीं भेजता

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 10.85.240.0/20 को उपसर्ग /22 वाले समान सबनेट में बाँटा गया है। कितने सबनेट N हैं?

10.85.240.0/20/22

N =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक राउटर के पास इन नेटवर्कों के लिए रूट हैं: 10.49.230.0/24, 10.49.231.0/24, 10.49.232.0/24, 10.49.233.0/24, 10.49.234.0/24, 10.49.235.0/24, 10.49.236.0/24, 10.49.237.0/24। इन सबको कवर करने वाले एकल सारांश रूट की सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p क्या है?

10.49.230.0/24 … 10.49.237.0/24

p =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 249

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

7 = 0000 0111

उलटा हुआ: 1111 1000

+1 → 1111 1001

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1111 1001₂ = 256 − 7 = 249

उत्तर

U = 249

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 244

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

1011 0100

OR 0101 0100

= 1111 0100

परिणाम का मान

1111 0100₂ = 244

उत्तर

R = 244

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (q ∧ r) ∧ ¬¬p

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = q ∧ r, b = ¬p

निहितार्थ का निषेध

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (q ∧ r) ∧ ¬¬p

उत्तर

(q ∧ r) ∧ ¬¬p

यदि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाए, तो निहितार्थ सत्य होना चाहिए।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x (P(x) → ¬Q(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))

उत्तर

∀x (P(x) → ¬Q(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′C + A′BC′ + AB′C′ + ABC

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 001, 010, 100, 111

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

CD′, B′C, AD′, A′C, AB′

न्यूनतम आवरण

F = A′C + AB′

L = 4

उत्तर

L = 4

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 31⁻¹ mod 83 = 75

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·31 (mod 83) के रूप में लिखा जाता है।

r = 83, t = 0

r = 31, q = 2, t = 1

r = 21, q = 1, t = −2

r = 10, q = 2, t = 3

r = 1, q = 10, t = −8

व्युत्क्रम

1 ≡ −8·31 (mod 83)

x = 75

जाँच: 31·75 = 2325 = 28·83 + 1

उत्तर

31⁻¹ mod 83 = 75

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 31

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 13·19 = 247

φ(n) = 12·18 = 216

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 216, t = 0

r = 7, q = 30, t = 1

r = 6, q = 1, t = −30

r = 1, q = 6, t = 31

निजी घातांक

d = 31

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

विषम शीर्ष

C, D, E, F → 4

दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: F

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 6

2. C (6): B: 13, E: 21

3. B (13): D: 27

4. E (21): D: 25, F: 22

5. F (22)

Go-Back-N प्राप्तकर्ता क्रम से बाहर फ़्रेमों को हटा देता है, इसलिए प्रेषक को हानि के बाद सब कुछ दोहराना पड़ता है। Selective Repeat उन्हें बफ़र करता है और केवल गायब फ़्रेम माँगता है।

उत्तर

A · Go-Back-N खोया फ़्रेम और उसके बाद के सभी फ़्रेम फिर से भेजता है; Selective Repeat केवल खोया फ़्रेम

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उधार लिए गए बिट

22 − 20 = 2

सबनेटों की संख्या

N = 2² = 4

उत्तर

N = 4

हर /22 सबनेट में 2¹⁰ − 2 = 1022 उपयोगी होस्ट हैं।

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 20

रूट सारांशीकरण: सारांश रूट a.b.c.0/p उन सभी नेटवर्कों को कवर करता है जिनके पहले p बिट मेल खाते हैं। पहले और अंतिम नेटवर्क के भिन्न ऑक्टेट को बाइनरी में लिखें; साझा अग्रणी बिटों की संख्या, उससे पहले के ऑक्टेटों के बिट जोड़कर, सबसे लंबा सारांश उपसर्ग है।

बिटों की तुलना करें

230 = 11100110

237 = 11101101

साझा अग्रणी बिट: 4

उपसर्ग लंबाई

p = 16 + 4 = 20

उत्तर

p = /20

सारांश रूट: 10.49.224.0/20 (यह 8 ऐसे नेटवर्क भी कवर करता है जो सूची में नहीं हैं)।

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