कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
8-बिट दो का पूरक0−12806403201608040201

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −35 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −358 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट सेट करने के लिए उन पर क्लिक करें012806403201608040201

बिट को 0011 0010 XOR 1000 0100 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0011 0010XOR1000 0100
R =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
¬(b ∨ c) → ¬a¬a → ¬(b ∨ c)(b ∨ c) ∧ ¬aa → (b ∨ c)

आप (b ∨ c) → a को प्रतिधनात्मक द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। इसके बजाय कौन-सा निहितार्थ सिद्ध करेंगे? उस पर क्लिक करें।

(b ∨ c) → a
  1. 1¬(b ∨ c) → ¬a
  2. 2¬a → ¬(b ∨ c)
  3. 3(b ∨ c) ∧ ¬a
  4. 4a → (b ∨ c)
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
∃x ∃y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x ∀y R(x, y) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x ∀y R(x, y)
  1. 1∃x ∃y ¬R(x, y)
  2. 2∃x ∀y ¬R(x, y)
  3. 3∀x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∀x ∃y ¬R(x, y)
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABCD000111100001111011111

इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।

F = Σm(2, 5, 9, 10, 11)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKD123456

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड D फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और 6 आरोही क्लॉक कोरों पर दिखाए गए निवेश पाता है। Q कितनी बार N अवस्था बदलता है?

Q₀ = 0D
N =
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 1 (mod 3) और x ≡ 0 (mod 7)।

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 0 (mod 7)
x =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
6c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (209, 23)d

संदेश m = 6 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (209, 23) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 209e = 23m = 6
c =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

पहुँच योग्य बेस केस के बिना रिकर्सिव फ़ंक्शन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aकंपाइलर हमेशा इसे ऐसे लूप में बदल देता है जो सुरक्षित रूप से समाप्त होता है
  2. Bयह O(1) समय में चलता है
  3. Cयह अपने आप 0 लौटाता है
  4. Dयह तब तक स्वयं को कॉल करता रहता है जब तक कॉल स्टैक ओवरफ़्लो न हो जाए
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सबसे छोटे सरल पथ बहुपदी समय में खोजे जा सकते हैं। सामान्य ग्राफ़ में दो शीर्षों के बीच सबसे लंबा सरल पथ खोजने के बारे में क्या ज्ञात है?

  1. Aयह अनिर्णेय है
  2. Bयह NP-hard है
  3. Cइसे ऋणात्मक भारों के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम से हल किया जा सकता है
  4. Dयह हमेशा O(V + E) में हल होता है
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

पोस्टफ़िक्स एक्सप्रेशन 3 4 + 2 * का मान क्या है?

  1. A11
  2. B24
  3. C10
  4. D14
12.डेटा संरचनाएँकठिन

सेगमेंट ट्री का उपयोग आमतौर पर किसके लिए किया जाता है?

  1. Aग्राफ़ के किनारे संग्रहीत करने के लिए
  2. Bरेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
  3. Cस्टैक लागू करने के लिए
  4. Dहर प्रीफ़िक्स को अलग ट्री नोड में संग्रहीत करके स्ट्रिंग्स को वर्णानुक्रम में क्रमबद्ध करने के लिए
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 6 शीर्ष और 11 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 6|E| = 11
k =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
126101188410ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

किसी पंक्ति के लिए WHERE EXISTS (subquery) कब सत्य होता है?

  1. Aजब सबक्वेरी कम से कम एक पंक्ति लौटाए
  2. Bजब सबक्वेरी शून्य से बड़ी संख्या लौटाए
  3. Cजब सबक्वेरी कोई NULL मान न लौटाए
  4. Dजब सबक्वेरी ठीक एक पंक्ति लौटाए
16.डेटाबेस और SQLकठिन

निम्न क्वेरी क्या लौटाती है: SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)?

  1. Aसभी छात्रों का औसत ग्रेड
  2. Bकेवल सर्वोच्च ग्रेड वाले छात्र
  3. Cएक त्रुटि, क्योंकि WHERE में सबक्वेरी की अनुमति नहीं है
  4. Dऔसत ग्रेड से अधिक ग्रेड वाले छात्र
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

HTTP विधियों GET और POST में मुख्य अंतर क्या है?

  1. AGET एक संसाधन प्राप्त करता है, POST अनुरोध बॉडी में डेटा जमा करता है
  2. BGET संसाधन हटाता है, POST उसे सर्वर के डेटाबेस से पढ़ता है
  3. CGET UDP का उपयोग करता है, POST TCP का
  4. DGET एन्क्रिप्टेड है, POST नहीं
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

मानक Ethernet पेलोड की अधिकतम ट्रांसमिशन यूनिट (MTU) क्या है?

  1. A65,535 बाइट
  2. B64 बाइट
  3. Cहर नेटवर्क में 9000 बाइट
  4. D1500 बाइट
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
255.255.255.25211111111111111111111111111111100नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

एक सबनेट मास्क 255.255.255.252 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.255.252
H =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
अंतिम ऑक्टेट = 106012816413201618041201नेटवर्कहोस्ट

एक होस्ट का पता 10.20.200.106/29 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.200.106/29
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 221

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

35 = 0010 0011
उलटा हुआ: 1101 1100
+1 → 1101 1101

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1101 1101₂ = 256 − 35 = 221

उत्तर

U = 221
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 182

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

XOR वहाँ 1 देता है जहाँ दोनों बिट अलग हों।

0011 0010
XOR 1000 0100
= 1011 0110

परिणाम का मान

1011 0110₂ = 182

उत्तर

R = 182
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬a → ¬(b ∨ c)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = b ∨ c, b = a

प्रतिधनात्मक

¬b → ¬a = ¬a → ¬(b ∨ c)

उत्तर

¬a → ¬(b ∨ c)

प्रतिधनात्मक मूल कथन के तुल्य है, इसलिए उसे सिद्ध करने से कथन सिद्ध हो जाता है।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x ∃y ¬R(x, y)

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

उत्तर

∀x ∃y ¬R(x, y)

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: AB = 01, CD = 01

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

हर 1 के पड़ोसी

पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।

m5: m4, m7, m1, m13 → 0
ABCD000111100001111011111

अकेला 1

m5 = A′BC′D → AB = 01, CD = 01

उत्तर

AB = 01, CD = 01
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

D फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर D को कॉपी करता है: Q⁺ = D।

1: D = 1 → Q = 1
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1

परिवर्तन गिनें

0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1
N = 5

उत्तर

N = 5
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 7

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

पहली सर्वांगसमता

x = 1 + 3k

दूसरी सर्वांगसमता

1 + 3k ≡ 0 (mod 7) → 3k ≡ 6 (mod 7)
k ≡ 5·6 ≡ 2 (mod 7)

परिणाम

x = 1 + 3·2 = 7
x = 7
जाँच: 7 mod 3 = 1, 7 mod 7 = 0

उत्तर

x = 7
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 62

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

23 = 16 + 4 + 2 + 1
61 ≡ 6 (mod 209)
62 ≡ 36 (mod 209)
64 ≡ 42 (mod 209)
68 ≡ 92 (mod 209)
616 ≡ 104 (mod 209)
623 ≡ 6·36·42·104 ≡ 62 (mod 209)

सिफरटेक्स्ट

c = 62

उत्तर

c = 62
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · यह तब तक स्वयं को कॉल करता रहता है जब तक कॉल स्टैक ओवरफ़्लो न हो जाए

यह उत्तर क्यों है

बेस केस के बिना रिकर्शन कभी नहीं रुकता; व्यवहार में स्टैक फ़्रेम की मेमोरी समाप्त हो जाती है और प्रोग्राम क्रैश हो जाता है।

उत्तर

D · यह तब तक स्वयं को कॉल करता रहता है जब तक कॉल स्टैक ओवरफ़्लो न हो जाए
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · यह NP-hard है

यह उत्तर क्यों है

V − 1 लंबाई का सबसे लंबा सरल पथ एक हैमिल्टोनियन पथ है, जो NP-complete समस्या है; परंतु डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ पर यह रैखिक समय में हल होता है।

उत्तर

B · यह NP-hard है
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · 14

यह उत्तर क्यों है

3 और 4 push करें, + से 7 मिलता है; 2 push करें, * से 7 × 2 = 14 मिलता है।

उत्तर

D · 14
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए

यह उत्तर क्यों है

सेगमेंट ट्री अंतरालों के समुच्चय मान संग्रहीत करता है, जिससे रेंज क्वेरी और पॉइंट अपडेट O(log n) समय में होते हैं।

उत्तर

B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

6 − 1 = 5

हटाई जाने वाली कोरें

k = 11 − 5 = 6

उत्तर

k = 6
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 26

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 12, C: 6
C (6): E: 14
B (12): D: 23
E (14): D: 22
D (22): F: 26
F (26)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → D → F
d(F) = 26

उत्तर

d(F) = 26
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: A · जब सबक्वेरी कम से कम एक पंक्ति लौटाए

यह उत्तर क्यों है

EXISTS केवल जाँचता है कि कोई पंक्ति बनती है या नहीं; NOT EXISTS तब सत्य होता है जब सबक्वेरी कोई पंक्ति नहीं लौटाती।

उत्तर

A · जब सबक्वेरी कम से कम एक पंक्ति लौटाए
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: D · औसत ग्रेड से अधिक ग्रेड वाले छात्र

यह उत्तर क्यों है

स्केलर सबक्वेरी औसत की गणना करती है, और बाहरी क्वेरी उससे ऊपर वाले छात्रों को रखती है।

उत्तर

D · औसत ग्रेड से अधिक ग्रेड वाले छात्र
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: A · GET एक संसाधन प्राप्त करता है, POST अनुरोध बॉडी में डेटा जमा करता है

यह उत्तर क्यों है

GET एक संसाधन माँगता है और उसे सर्वर की स्थिति नहीं बदलनी चाहिए। POST बॉडी में डेटा, जैसे फ़ॉर्म, सर्वर द्वारा संसाधित करने के लिए भेजता है।

उत्तर

A · GET एक संसाधन प्राप्त करता है, POST अनुरोध बॉडी में डेटा जमा करता है
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 1500 बाइट

यह उत्तर क्यों है

मानक Ethernet अधिकतम 1500 बाइट पेलोड ले जाता है; बड़े IP पैकेटों को खंडित (fragment) करना पड़ता है या path MTU discovery का उपयोग करना पड़ता है।

उत्तर

D · 1500 बाइट
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 2

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उपसर्ग लंबाई

255.255.255.252 = /30

उपयोगी होस्ट

22 − 2 = 2

उत्तर

H = 2
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 110

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

23 = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊106/8⌋·8 = 104
ब्रॉडकास्ट: 104 + 8 − 1 = 111
उपयोगी होस्ट: 105 … 110

उत्तर

x = 110

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