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1सूत्र और विधियाँ
स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ
स्थायित्व
अभिलाक्षणिक बहुपद के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में
राउथ सारणी, त्रिघात की s¹ प्रविष्टि
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
दाएँ अर्ध-तल के मूल
पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या
त्रिघात s³ + a₂s² + a₁s + a₀
स्थायी जब सभी a > 0 और a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
अभिलाक्षणिक समीकरण
1 + K·G(s) = 0
अनंतस्पर्शियाँ
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
विचलन और संगम बिंदु
dK/ds = 0
परिमाण शर्त
K = 1/|G(s)|
प्रस्थान कोण
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)
विधि
संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए: 1 + K·G(s) = 0 का हर, गुणा करके फैलाया हुआ।
गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में रखिए और बाकी पंक्तियाँ बनाइए।
पहले स्तंभ के चिह्न-परिवर्तन गिनिए: हर एक दाएँ अर्ध-तल का एक ध्रुव है। सारणी में K होने पर माँग कीजिए कि पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहे।
मूल बिंदुपथ के लिए ध्रुव और शून्य, वास्तविक अक्ष के खंड, केंद्रक से निकलती अनंतस्पर्शियाँ और dK/ds = 0 वाले विचलन/संगम बिंदु अंकित कीजिए। किसी बिंदु पर लब्धि के लिए K = 1/|G(s)| का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.लाप्लास रूपांतरमध्यम
आंशिक भिन्नों से F(s) = 40/(s(s + 1)(s + 5)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.3) का मान निकालिए।
F(s) = 40/(s(s + 1)(s + 5))t = 0.3 s
f(0.3) =
2.लाप्लास रूपांतरकठिन
एक तंत्र y″ + 7y′ + 12y = 6·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 1 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.3) ज्ञात कीजिए।
संयंत्र G(s) = K/((s + 1)(s + 10)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप क्रांतिक अवमंदित है (दो बराबर वास्तविक ध्रुव)।
संयंत्र G(s) = 44/(s(s + 3)) सेंसर लब्धि H = 2 वाले ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। संवृत-लूप ध्रुव सम्मिश्र हैं। उनका वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।
G(s) = 44/(s(s + 3))H = 2
σ =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 6/(s² + 2s + 6) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।
G(s) = 6/(s² + 2s + 6)
ωn = rad/s
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया 4.3 % अतिलंघन दिखाती है, और पहला शिखर t = 0.25 s पर आता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn ज्ञात कीजिए।
%OS = 4.3 %tp = 0.25 s
ωn = rad/s
7.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथमध्यम
एक एकांक पुनर्निवेश लूप में L(s) = K(s + 7)/(s(s + 1)(s + 4)) है, जहाँ K > 0। वह सबसे बड़ी लब्धि Kmax ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत-लूप स्थायी है।
L(s) = K(s + 7)/(s(s + 1)(s + 4))
Kmax =
8.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथकठिन
L(s) = K/(s(s + 4)) का मूल बिंदुपथ दिखाया गया है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत-लूप ध्रुवों का अवमंदन अनुपात ζ = 0.5 हो।
L(s) = K/(s(s + 4))ζ = 0.5
K =
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/((s + 2)(s + 4)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो सोपान निवेश के लिए 5 % की स्थायी-अवस्था त्रुटि दे।
G(s) = K/((s + 2)(s + 4))ess = 5 %
K =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 2 संयंत्र G(s) = 4/(s(s + 4)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 4/(s(s + 4))K = 2
%OS = %
11.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
दर्शाए गए RC निम्न-पारक फ़िल्टर में R = 22 kΩ, C = 22 nF है। 1.3 kHz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |vout/vin| ज्ञात कीजिए।
R = 22 kΩC = 22 nFf = 1.3 kHz
|H| = dB
12.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 112/(s(s + 2)(s + 9)) है। कला क्रॉसओवर आवृत्ति ω180 ज्ञात कीजिए, जहाँ ∠L(jω) = −180°।
L(s) = 112/(s(s + 2)(s + 9))
ω180 = rad/s
3विलयन
1.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: f(0.3) = 1.038
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
आंशिक भिन्न
F(s) = A/s + B/(s + 1) + C/(s + 5)
A = 40/(1·5) = 8
B = 40/((−1)·4) = −10
C = 40/((−5)·(−4)) = 2
प्रतिलोम रूपांतर
f(t) = 8 − 10·e−t + 2·e−5t
मान निकालें
f(0.3) = 8 − 10·e−0.3 + 2·e−5·0.3 = 1.038
उत्तर
f(0.3) = 1.038
2.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: y(0.3) = 0.1387
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
समीकरण का रूपांतर करें
Y(s) = 6/(s(s + 3)(s + 4))
आंशिक भिन्न
A = 6/(3·4) = 0.5
B = 6/((−3)·1) = −2
C = 6/((−4)·(−1)) = 1.5
निर्गम
y(t) = 0.5 − 2·e−3t + 1.5·e−4t
y(0.3) = 0.1387
उत्तर
y(0.3) = 0.1387
3.ब्लॉक आरेख
उत्तर: K = 20.25
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
द्विघात s² + βs + γ का द्विक मूल तब होता है जब β² = 4γ।
11² = 4(10 + K) → K = 121/4 − 10 = 20.25
उत्तर
K = 20.25
तब दोनों संवृत-लूप ध्रुव s = −5.5 पर हैं।
4.ब्लॉक आरेख
उत्तर: σ = −1.5
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
अभिलाक्षणिक समीकरण
s(s + 3) + 44·2 = 0 → s² + 3s + 88 = 0
मूल
s = −1.5 ± j·√(88 − 2.25) = −1.5 ± j9.26
σ = −1.5
उत्तर
σ = −1.5
5.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 2.449 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 6 → ωₙ = 2.449 rad/s
2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·2.449) = 0.4082
परिणाम
ωₙ = 2.449 rad/s
उत्तर
ωn = 2.449 rad/s
6.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 17.79 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।
शून्य के s = −5 के दाईं ओर होने पर लूप हर K > 0 के लिए स्थायी रहता।
8.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ
उत्तर: K = 16
मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।
मानक रूप से तुलना करें
s² + 4s + K = s² + 2ζωₙs + ωₙ²
2·0.5·ωₙ = 4 → ωₙ = 4 rad/s
लब्धि
K = ωₙ² = 4² = 16
उत्तर
K = 16
संवृत-लूप ध्रुव वहाँ हैं जहाँ ζ रेखा s = −2 पर ऊर्ध्वाधर शाखा को काटती है।
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: K = 152
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
आवश्यक त्रुटि स्थिरांक
1/(1 + Kp) = 0.05 → Kp = 19
लब्धि
K/8 = 19 → K = 152
उत्तर
K = 152
संवृत-लूप स्थायित्व भी जाँचिए: इस द्वितीय-कोटि लूप के लिए कोई भी K > 0 स्थायी है।
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: %OS = 4.321 %
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
s(s + 4) + 2·4 = s² + 4s + 8
ωₙ और ζ
ωₙ = √8 = 2.828 rad/s
ζ = 4/(2·2.828) = 0.7071
अतिलंघन
%OS = 100·e−0.7071π/√(1 − 0.7071²) = 4.321 %
उत्तर
%OS = 4.321 %
11.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: |H| = −12.21 dB
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
कोना आवृत्ति
ωc = 1/(RC) = 1/(22000·2.2 × 10⁻⁸) = 2066 rad/s
fc = 328.8 Hz → f/fc = 1300/328.8 = 3.953
लब्धि
|H| = 1/√(1 + 3.953²) = 0.2452
20·log₁₀(0.2452) = −12.21 dB
उत्तर
|H| = −12.21 dB
12.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: ω180 = 4.243 rad/s
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।