नियंत्रण अभियांत्रिकी 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ

स्थायित्व: अभिलाक्षणिक बहुपद के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में
राउथ सारणी, त्रिघात की s¹ प्रविष्टि: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
दाएँ अर्ध-तल के मूल: पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या
त्रिघात s³ + a₂s² + a₁s + a₀: स्थायी जब सभी a > 0 और a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
अभिलाक्षणिक समीकरण: 1 + K·G(s) = 0
अनंतस्पर्शियाँ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
विचलन और संगम बिंदु: dK/ds = 0
परिमाण शर्त: K = 1/|G(s)|
प्रस्थान कोण: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

विधि

संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए: 1 + K·G(s) = 0 का हर, गुणा करके फैलाया हुआ।
गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में रखिए और बाकी पंक्तियाँ बनाइए।
पहले स्तंभ के चिह्न-परिवर्तन गिनिए: हर एक दाएँ अर्ध-तल का एक ध्रुव है। सारणी में K होने पर माँग कीजिए कि पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहे।
मूल बिंदुपथ के लिए ध्रुव और शून्य, वास्तविक अक्ष के खंड, केंद्रक से निकलती अनंतस्पर्शियाँ और dK/ds = 0 वाले विचलन/संगम बिंदु अंकित कीजिए। किसी बिंदु पर लब्धि के लिए K = 1/|G(s)| का उपयोग कीजिए।

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.लाप्लास रूपांतरमध्यम

वर्ग पूरा करके F(s) = (5s + 13)/(s² + 4s + 40) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(1) का मान निकालिए।

F(s) = (5s + 13)/(s² + 4s + 40)t = 1 s

f(1) =

2.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 6y′ + 5y = 5·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 1 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.25) ज्ञात कीजिए।

y″ + 6y′ + 5y = 5·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.25 s

y(0.25) =

3.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 44/(s(s + 2)) है। संदर्भ एक रैंप r(t) = 2·t है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 44/(s(s + 2))r(t) = 2·t

e_ss =

4.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = K/((s + 2)(s + 5)(s + 6)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। राउथ–हर्विट्ज़ मानदंड से वह अधिकतम लब्धि K_max ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप स्थायी है।

G(s) = K/((s + 2)(s + 5)(s + 6))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

K_max =

5.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 35.5/(s² + 6s + 71) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। ध्रुव s = σ ± jω_d हैं। वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 35.5/(s² + 6s + 71)

σ =

6.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 110/(s(s + 4)) है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके संवृत-लूप सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 110/(s(s + 4))

t_s = s

7.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथमध्यम

आरेख वाले लूप का विवृत-लूप अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4)) है। वह सबसे बड़ी लब्धि K_max ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत-लूप स्थायी रहता है।

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))

K_max =

8.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथकठिन

L(s) = K/((s + 4)(s² + 4s + 5)) के लिए ऊपरी अर्ध-तल के सम्मिश्र ध्रुव से मूल बिंदुपथ का प्रस्थान कोण θ_d ज्ञात कीजिए, धनात्मक वास्तविक अक्ष से मापा हुआ।

L(s) = K/((s + 4)(s² + 4s + 5))

θ_d = °

9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/((s + 1)(s + 4)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो सोपान निवेश के लिए 25 % की स्थायी-अवस्था त्रुटि दे।

G(s) = K/((s + 1)(s + 4))e_ss = 25 %

K =

10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K संयंत्र G(s) = 4/(s(s + 2)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को अवमंदन अनुपात ζ = 0.707 दे।

G(s) = 4/(s(s + 2))ζ = 0.707

K =

11.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 1 kΩ, C = 22 nF है। 1.4 kHz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |v_out/v_in| ज्ञात कीजिए।

R = 1 kΩC = 22 nFf = 1.4 kHz

|H| = dB

12.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 96/(s(s + 2)(s + 10)) है। कला क्रॉसओवर आवृत्ति ω₁₈₀ ज्ञात कीजिए, जहाँ ∠L(jω) = −180°।

L(s) = 96/(s(s + 2)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3विलयन

1.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(1) = 0.6308

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

वर्ग पूरा करें

s² + 4s + 40 = (s + 2)² + 36 = (s + 2)² + 6²

अंश का मिलान करें

F(s) = 5·(s + 2)/((s + 2)² + 6²) + (3/6)·6/((s + 2)² + 6²)

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = e^−2t·(5·cos 6t + 0.5·sin 6t)

f(1) = e^−2·1·(5·cos(6·1) + 0.5·sin(6·1)) = 0.6308

उत्तर

f(1) = 0.6308

2.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.25) = 0.09813

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 5/(s(s + 1)(s + 5))

आंशिक भिन्न

A = 5/(1·5) = 1

B = 5/((−1)·4) = −1.25

C = 5/((−5)·(−4)) = 0.25

निर्गम

y(t) = 1 − 1.25·e^−t + 0.25·e^−5t

y(0.25) = 0.09813

उत्तर

y(0.25) = 0.09813

3.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 0.09091

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

वेग त्रुटि स्थिरांक

Kᵥ = lim_s→0 s·G(s) = 44/2 = 22

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/Kᵥ = 2/22 = 0.09091

उत्तर

e_ss = 0.09091

4.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K_max = 616

अभिलाक्षणिक समीकरण

s³ + 13s² + 52s + 60 + K = 0

राउथ सारणी

s³ | 1 52

s² | 13 60 + K

s¹ | (13·52 − 60 − K)/13

s⁰ | 60 + K

स्थायित्व सीमा

पहले स्तंभ की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक होनी चाहिए।

K_max = 13·52 − 60 = 616

उत्तर

K_max = 616

5.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: σ = −3

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s

2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·8.426) = 0.356

परिणाम

σ = −ζωₙ = −6/2 = −3

उत्तर

σ = −3

6.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_s = 2 s

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = 110/(s² + 4s + 110): ωₙ = 10.49 rad/s, ζ = 0.1907

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 4/2 = 2

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 2 s

उत्तर

t_s = 2 s

इस लूप के लिए K जो भी हो, ζωₙ = a/2: K बढ़ाने से अतिलंघन बढ़ता है पर स्थिरीकरण समय छोटा नहीं होता।

7.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ

उत्तर: K_max = 20

राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

s³ + 5s² + 4s + K = 0

राउथ सारणी

s³: 1, 4

s²: 5, K

s¹: (5·4 − K)/5

s⁰: K

शर्तें

पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक होनी चाहिए।

K > 0

5·4 − K > 0 → K < 20

उत्तर

K_max = 20

K = 20 पर संवृत-लूप ω = √4 = 2 rad/s पर दोलन करता है।

8.स्थायित्व: राउथ–हरविट्ज़ और मूल बिंदुपथ

उत्तर: θ_d = 63.43 °

मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।

ध्रुवों की स्थितियाँ

s² + 4s + 5 = 0 → s = −2 ± j1

s = −4

अन्य ध्रुवों से कोण

∠(−2 + j1 + 4) = atan2(1, 2) = 26.57°

∠(−2 + j1 − (−2 − j1)) = ∠(j2) = 90°

प्रस्थान कोण

θ_d = 180° − 26.57° − 90° = 63.43°

उत्तर

θ_d = 63.43°

9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 12

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

आवश्यक त्रुटि स्थिरांक

1/(1 + K_p) = 0.25 → K_p = 3

लब्धि

K/4 = 3 → K = 12

उत्तर

K = 12

संवृत-लूप स्थायित्व भी जाँचिए: इस द्वितीय-कोटि लूप के लिए कोई भी K > 0 स्थायी है।

10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 0.5002

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 2) + 4K = s² + 2s + 4K

प्राकृतिक आवृत्ति

2·0.707·ωₙ = 2 → ωₙ = 1.414 rad/s

लब्धि

4K = ωₙ² = 2.001 → K = 0.5002

उत्तर

K = 0.5002

11.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |H| = −14.43 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ω_c = 1/(RC) = 1/(1000·2.2 × 10⁻⁸) = 45455 rad/s

f_c = 7234 Hz → f/f_c = 1400/7234 = 0.1935

लब्धि

|H| = 0.1935/√(1 + 0.1935²) = 0.19

20·log₁₀(0.19) = −14.43 dB

उत्तर

|H| = −14.43 dB

12.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: ω₁₈₀ = 4.472 rad/s

कला क्रॉसओवर

(ω/2)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·10) = 4.472 rad/s

उत्तर

ω₁₈₀ = 4.472 rad/s

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