डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट की वर्स्ट-केस टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सॉर्टेड ऐरे में किसी भी तुलना-आधारित खोज को वर्स्ट केस में Ω(log n) तुलनाएँ क्यों चाहिए?

  1. An संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
  2. Bहर तुलना में लघुगणकीय समय लगता है
  3. Cहर तत्व की कम से कम एक बार तुलना होनी चाहिए
  4. Dबाइनरी सर्च ही एकमात्र संभव एल्गोरिदम है, और उसे log₂ n तुलनाएँ चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

सर्कुलर बफ़र (रिंग बफ़र) का उपयोग आमतौर पर किसे लागू करने के लिए किया जाता है?

  1. Aग्राफ़ ट्रैवर्सल
  2. Bनिश्चित आकार की क्यू
  3. Cहैश फ़ंक्शन
  4. Dबाइनरी सर्च ट्री
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n संख्याओं के ऐरे पर फ़ेनविक ट्री (बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री) कौन-से ऑपरेशन O(log n) में समर्थित करता है?

  1. Aकिसी भी स्थिति पर तत्व डालना
  2. BO(1) में माध्यिका खोजना
  3. Cप्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
  4. Dऐरे सॉर्ट करना और बाइनरी सर्च
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
213121431096ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

लगातार खराब पिवट (जैसे पहले से सॉर्टेड इनपुट और पहले तत्व को पिवट बनाना) से विभाजन असंतुलित होते हैं, जिससे O(n²) मिलता है। औसत केस O(n log n) है।

उत्तर

B · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए

यह उत्तर क्यों है

हर तुलना शेष संभावनाओं के समुच्चय को अधिकतम आधा करती है, इसलिए n स्थितियों में अंतर करने के लिए कम से कम log₂ n तुलनाएँ चाहिए।

उत्तर

A · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · निश्चित आकार की क्यू

यह उत्तर क्यों है

रिंग बफ़र head और tail इंडेक्स का उपयोग करता है जो घूमकर वापस आते हैं, जिससे निश्चित मेमोरी में O(1) enqueue और dequeue मिलते हैं।

उत्तर

B · निश्चित आकार की क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट

यह उत्तर क्यों है

फ़ेनविक ट्री हर इंडेक्स के निचले बिटों से निर्धारित रेंजों के आंशिक योग संग्रहीत करता है, इसलिए प्रीफ़िक्स योग और पॉइंट अपडेट दोनों में O(log n) लगता है।

उत्तर

C · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

A, B, D, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 17

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 2, C: 13
B (2): D: 16, E: 8
E (8): C: 11, F: 17
C (11)
D (16)
F (17)

सबसे छोटा पथ

A → B → E → F
d(F) = 17

उत्तर

d(F) = 17

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