डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. Aरैखिक (Linear)
  2. Bघातांकी (Exponential)
  3. Cस्थिर (Constant)
  4. Dलघुगणकीय (Logarithmic)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इंसर्शन सॉर्ट सॉर्टेड इनपुट पर O(n) में चलता है। क्या यह तुलना-आधारित सॉर्टिंग की Ω(n log n) निचली सीमा का खंडन करता है?

  1. Aहाँ, इसलिए निचली सीमा ग़लत है
  2. Bहाँ, पर केवल 100 से छोटे ऐरे के लिए
  3. Cनहीं, क्योंकि इंसर्शन सॉर्ट तुलना-आधारित सॉर्ट नहीं है
  4. Dनहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

  1. Aइंडेक्स 3
  2. Bइंडेक्स 6
  3. Cइंडेक्स 4
  4. Dइंडेक्स 0
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n संख्याओं के ऐरे पर फ़ेनविक ट्री (बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री) कौन-से ऑपरेशन O(log n) में समर्थित करता है?

  1. Aप्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
  2. Bऐरे सॉर्ट करना और बाइनरी सर्च
  3. Cकिसी भी स्थिति पर तत्व डालना
  4. DO(1) में माध्यिका खोजना
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
115513931113ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E
d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · घातांकी (Exponential)

यह उत्तर क्यों है

कॉल ट्री लगभग φⁿ (करीब 1.618ⁿ) की तरह बढ़ता है। मेमोइज़ेशन इसे O(n) तक घटा देता है।

उत्तर

B · घातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं

यह उत्तर क्यों है

सीमा कहती है कि हर तुलना-आधारित सॉर्ट को n आकार के किसी इनपुट पर लगभग n log n तुलनाएँ चाहिए; विशेष इनपुट बहुत तेज़ हो सकते हैं।

उत्तर

D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

C · इंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट

यह उत्तर क्यों है

फ़ेनविक ट्री हर इंडेक्स के निचले बिटों से निर्धारित रेंजों के आंशिक योग संग्रहीत करता है, इसलिए प्रीफ़िक्स योग और पॉइंट अपडेट दोनों में O(log n) लगता है।

उत्तर

A · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 14

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 11, C: 5
C (5): B: 10, E: 14
B (10): D: 23
E (14): D: 17, F: 27
D (17)
F (27)

सबसे छोटा पथ

A → C → E
d(E) = 14

उत्तर

d(E) = 14

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