डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. ANP का अर्थ है "not polynomial"
  2. BNP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
  3. CP की हर समस्या NP में भी है
  4. Dयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

  1. Aक्यू
  2. Bकेवल हैश टेबल
  3. Cहीप
  4. Dस्टैक
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ऐरे के हर तत्व के लिए आप उसके दाईं ओर का अगला बड़ा तत्व कुल O(n) समय में चाहते हैं। कौन-सी संरचना मदद करती है?

  1. Aएक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
  2. Bसभी तत्वों की हैश टेबल
  3. Cतत्वों के हर युग्म को रखने वाली क्यू
  4. Dहर तत्व के लिए फिर से बनाया गया बाइनरी सर्च ट्री
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 12 शीर्ष और 16 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 12|E| = 16
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
172014481913ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

हर चरण पर समस्या आधी होती है और प्रति चरण स्थिर कार्य होता है, इसलिए लगभग log₂ n चरण होते हैं।

उत्तर

B · O(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · P की हर समस्या NP में भी है

यह उत्तर क्यों है

P ⊆ NP: यदि आप किसी समस्या को जल्दी हल कर सकते हैं, तो आप समाधान को भी जल्दी सत्यापित कर सकते हैं। P = NP है या नहीं, यह अभी भी खुला प्रश्न है।

उत्तर

C · P की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

DFS जितना संभव हो उतना गहराई तक जाती है, इसलिए स्वाभाविक रूप से स्टैक (या रिकर्शन का कॉल स्टैक) का उपयोग करती है; BFS क्यू का उपयोग करती है।

उत्तर

D · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है

यह उत्तर क्यों है

बाएँ से दाएँ स्कैन करते हुए, वर्तमान से छोटे हर स्टैक्ड तत्व को pop करें (वर्तमान तत्व उनका उत्तर है), फिर उसे push करें; हर तत्व अधिकतम दो बार खिसकता है।

उत्तर

A · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

12 − 1 = 11

हटाई जाने वाली कोरें

k = 16 − 11 = 5

उत्तर

k = 5
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 42

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BD (4): लें
CE (8): लें
BE (13): लें
BC (14): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (17): लें

कुल भार

W = 4 + 8 + 13 + 17 = 42

उत्तर

W = 42

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