डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

भर जाने पर अपनी क्षमता दोगुनी करने वाले डायनेमिक ऐरे में तत्व जोड़ने (append) की एमॉर्टाइज़्ड (amortised) टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यदि कोई किसी एक NP-complete समस्या के लिए बहुपदी-समय एल्गोरिदम खोज ले, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

  1. ANP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
  2. Bहॉल्टिंग समस्या निर्णेय हो जाएगी
  3. Cकेवल वही एक समस्या P में चली जाएगी
  4. Dसभी घातांकी-समय एल्गोरिदम तुरंत रैखिक समय में चलने लगेंगे
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

इंडेक्स 0 से शुरू होने वाले ऐरे में संग्रहीत बाइनरी हीप में इंडेक्स i वाले नोड का पैरेंट कहाँ है?

  1. Aइंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
  2. Bइंडेक्स ⌊i / 2⌋ + 1 पर
  3. Cइंडेक्स i − 1 पर
  4. Dइंडेक्स 2i + 1 पर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी सर्च ट्री से दो चाइल्ड वाले नोड को हटाना आमतौर पर कैसे किया जाता है?

  1. Aपूरे सबट्री को हटाकर
  2. Bउसे रूट से अदला-बदली करके
  3. Cउसके नीचे के सबट्री को शुरू से दोबारा बनाकर और उसमें मौजूद हर कुंजी को फिर से डालकर
  4. Dउसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
12313151819ABCDE

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

सभी तत्वों की कॉपी केवल दो की घातों पर होती है; सभी appends पर फैलाने से प्रति append औसत लागत स्थिर रहती है।

उत्तर

D · O(1)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP

यह उत्तर क्यों है

चूँकि पूरा NP किसी भी NP-complete समस्या में बहुपदी समय में रिड्यूस होता है, एक के लिए तेज़ एल्गोरिदम सबके लिए तेज़ एल्गोरिदम देता है।

उत्तर

A · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर

यह उत्तर क्यों है

i के चाइल्ड 2i + 1 और 2i + 2 पर हैं, इसलिए i का पैरेंट ⌊(i − 1) / 2⌋ है; 1-आधारित इंडेक्सिंग में यह ⌊i / 2⌋ है।

उत्तर

A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर

यह उत्तर क्यों है

in-order उत्तराधिकारी के अधिकतम एक चाइल्ड होता है, इसलिए उसकी कुंजी को हटाए जाने वाले नोड में कॉपी करने के बाद उसे आसानी से हटाया जा सकता है।

उत्तर

D · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर DE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. CE (1)
2. AC (3)
3. DE (8)
4. AB (12)

कोर संख्या 3

DE

उत्तर

कोर DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms