डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मानक तीन लूप से दो n × n मैट्रिक्स गुणा करने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

जब कुछ किनारा भार ऋणात्मक हों, तो डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम ग़लत परिणाम क्यों दे सकता है?

  1. Aप्रायोरिटी क्यू में ऋणात्मक संख्याएँ संग्रहीत नहीं की जा सकतीं
  2. Bशीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है
  3. Cयह केवल अप्रत्यक्ष (undirected) ग्राफ़ पर काम करता है
  4. Dयह हर ऋणात्मक किनारे पर अनंत लूप में चला जाता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  2. Bलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
  3. Cतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  4. Dलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सर्कुलर बफ़र में front == rear का अर्थ ख़ाली या भरा दोनों हो सकता है। इन्हें अलग पहचानने का एक सामान्य तरीका क्या है?

  1. Aजब भी front, rear के बराबर हो बफ़र साफ़ कर दें, ताकि स्थिति ख़ाली रहे
  2. Bबफ़र का आकार दो की घात रखें
  3. Cएक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
  4. Dfront और rear को एक ही वेरिएबल में संग्रहीत करें
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 14 शीर्ष और 14 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 14|E| = 14
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
385514558ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n³)

यह उत्तर क्यों है

n² प्रविष्टियाँ हैं और हर एक को n गुणन चाहिए, जिससे n³ ऑपरेशन होते हैं।

उत्तर

C · O(n³)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · शीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी चरण अऋणात्मक भारों पर निर्भर है ताकि निकाली गई दूरियाँ अंतिम हों; भार ऋणात्मक हो सकते हों तो बेलमैन–फ़ोर्ड का उपयोग होता है।

उत्तर

B · शीर्ष निकाले जाने पर अंतिम मान लिया जाता है, पर बाद का कोई ऋणात्मक किनारा उसे अब भी छोटा पथ दे सकता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें

यह उत्तर क्यों है

गिनती के साथ ख़ाली का अर्थ count = 0 और भरा का अर्थ count = capacity है; एक ख़ाली स्लॉट के साथ भरा (rear + 1) mod n == front के रूप में परिभाषित होता है।

उत्तर

C · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

14 − 1 = 13

हटाई जाने वाली कोरें

k = 14 − 13 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 3
2. C (3): B: 11, E: 8
3. E (8): D: 22, F: 13
4. B (11): D: 16
5. F (13)
6. D (16)

चक्र 3

E

उत्तर

E

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