डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक्टिविटी सिलेक्शन समस्या में कौन-सा ग्रीडी नियम हमेशा अधिकतम संख्या में न-अतिव्यापी गतिविधियाँ देता है?

  1. Aसबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
  2. Bपहले सबसे छोटी गतिविधि चुनें
  3. Cपहले सबसे कम अतिव्यापन वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
  4. Dसबसे जल्दी शुरू होने वाली गतिविधि चुनें
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

little-o नोटेशन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. An = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
  2. Bn² = o(n)
  3. C2n = o(n), क्योंकि 2n धीरे बढ़ता है
  4. Dn = o(n), क्योंकि हर फलन स्वयं का little-o है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

क्षमता n वाले ऐरे में संग्रहीत सर्कुलर क्यू में इंडेक्स i के बाद अगली स्थिति कैसे निकाली जाती है?

  1. A(i − 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग के लिए कान का एल्गोरिदम बार-बार in-degree 0 वाले शीर्ष हटाता है। उन शीर्षों को कौन-सी संरचना रखती है?

  1. Aसभी देखे गए किनारों का स्टैक
  2. Bin-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
  3. Cout-degree के अनुसार क्रमित मैक्स-हीप
  4. Dएक एडजेसेंसी मैट्रिक्स जो दर्ज करे कि कौन-से शीर्ष पहले ही हटाए जा चुके हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 8 शीर्ष और 13 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 8|E| = 13
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
151642021711ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · सबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ

यह उत्तर क्यों है

सबसे जल्दी समाप्ति समय चुनना एक्सचेंज तर्क से इष्टतम सिद्ध किया जा सकता है; अन्य नियमों के प्रति-उदाहरण हैं।

उत्तर

A · सबसे जल्दी समाप्त होने वाली गतिविधि चुनें, फिर संगत गतिविधियों के साथ दोहराएँ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है

यह उत्तर क्यों है

f = o(g) का अर्थ है कि f(n) / g(n), 0 की ओर जाता है; n / n², 0 की ओर जाता है, पर n / n = 1 नहीं।

उत्तर

A · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · (i + 1) mod n

यह उत्तर क्यों है

मॉड्यूलो ऑपरेशन इंडेक्स n − 1 को वापस 0 पर ले आता है, इसलिए तत्वों को खिसकाए बिना ऐरे का दोबारा उपयोग होता है।

उत्तर

C · (i + 1) mod n
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)

यह उत्तर क्यों है

तैयार शीर्ष एक क्यू में रखे जाते हैं; एक को हटाने से उसके पड़ोसियों की in-degree घटती है, और जो 0 तक पहुँचें उन्हें जोड़ दिया जाता है, जिससे O(V + E) समय मिलता है।

उत्तर

B · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

8 − 1 = 7

हटाई जाने वाली कोरें

k = 13 − 7 = 6

उत्तर

k = 6
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 38

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

CE (2): लें
BC (4): लें
BE (11): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (15): लें
AC (16): छोड़ें, चक्र बनता है
DE (17): लें

कुल भार

W = 2 + 4 + 15 + 17 = 38

उत्तर

W = 38

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