डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बॉटम-अप तालिका से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + n log n का हल क्या है?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लोड फ़ैक्टर सीमा पार होने के बाद जब हैश टेबल rehash करती है, तो क्या होता है?

  1. Aएक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
  2. Bकेवल टकराने वाली कुंजियाँ टेबल के अंत में एक नई ओवरफ़्लो लिस्ट में ले जाई जाती हैं
  3. Cमौजूदा कुंजियाँ उसी स्थान पर सॉर्ट की जाती हैं
  4. Dजगह बनाने के लिए सबसे पुरानी कुंजियाँ हटा दी जाती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रुस्कल के मिनिमम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम में union-find संरचना का उपयोग किसलिए होता है?

  1. Aखोज के दौरान हर शीर्ष की स्रोत से वर्तमान दूरी संग्रहीत करने के लिए
  2. Bप्रारंभिक शीर्ष चुनने के लिए
  3. Cकिनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करने के लिए
  4. Dयह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक C से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

0 से n तक तालिका भरने में प्रति प्रविष्टि एक जोड़ लगता है, इसलिए कार्य घातांकी के बजाय रैखिक है।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(n log² n)

यह उत्तर क्यों है

स्तर k लगभग n log(n / 2ᵏ) कार्य करता है, और log n स्तरों पर योग Θ(n log² n) देता है, जो मास्टर प्रमेय की विस्तारित दूसरी स्थिति है।

उत्तर

C · Θ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है

यह उत्तर क्यों है

चूँकि इंडेक्स टेबल आकार के मॉड्यूलो से निकलता है, सभी कुंजियों को नई, बड़ी टेबल में rehash करना होता है; दोगुना करने पर यह एमॉर्टाइज़्ड O(1) रहता है।

उत्तर

A · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Find बताता है कि दोनों सिरे एक ही घटक में हैं या नहीं; यदि नहीं, तो किनारा जोड़ा जाता है और union घटकों को मिला देता है।

उत्तर

D · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 26

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 56 = 2(L + 16) − 2
L = 26

उत्तर

L = 26

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 3

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

उत्तर

N = 3

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