डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्या 22n, O(2ⁿ) में है?

  1. Aहाँ, क्योंकि Big O में घातांक के स्थिर गुणक हमेशा अनदेखे किए जाते हैं
  2. Bनहीं, क्योंकि 22n, 2ⁿ से धीमा बढ़ता है
  3. Cहाँ, क्योंकि दोनों घातांकी हैं
  4. Dनहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  2. Bलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
  3. Cतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  4. Dलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक ऑब्जेक्ट हैश मैप में कुंजी के रूप में संग्रहीत है, और फिर उसके हैश फ़ंक्शन में प्रयुक्त एक फ़ील्ड बदल दिया जाता है। संभावित परिणाम क्या है?

  1. Aफ़ील्ड बदलते ही मैप त्रुटि फेंकता है
  2. Bमैप अपने आप कुंजी को उसके नए बकेट में ले जाता है
  3. Cकुछ नहीं बदलता, क्योंकि कुंजी का हैश केवल प्रोग्राम शुरू होने पर एक बार निकाला जाता है
  4. Dऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 12
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
104775310141ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

हर चरण पर समस्या आधी होती है और प्रति चरण स्थिर कार्य होता है, इसलिए लगभग log₂ n चरण होते हैं।

उत्तर

D · O(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

घातांक में जोड़ा गया स्थिरांक एक स्थिर गुणक देता है, पर घातांक को गुणा करने वाला स्थिरांक आधार और वृद्धि दर बदल देता है।

उत्तर

D · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

A · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है

यह उत्तर क्यों है

कुंजी का स्थान उसके पुराने हैश से चुना गया था; नए हैश से खोज ग़लत बकेट में होती है, इसलिए कुंजियाँ अपरिवर्तनीय (immutable) होनी चाहिए।

उत्तर

D · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 14

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 10, C: 4
C (4): E: 11, G: 18
B (10): D: 17
E (11): F: 14
F (14)
D (17)
G (18)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 14

उत्तर

d(F) = 14

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