डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. Aघातांकी (Exponential)
  2. Bलघुगणकीय (Logarithmic)
  3. Cस्थिर (Constant)
  4. Dरैखिक (Linear)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + n log n का हल क्या है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। पोस्टऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक AVL नोड असंतुलित है क्योंकि उसके बाएँ चाइल्ड का दायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो गया (left-right स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aबाएँ चाइल्ड पर दायाँ रोटेशन, फिर नोड पर बायाँ रोटेशन
  2. Bनोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  3. Cबाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  4. Dनोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 7 शीर्ष और 18 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 7|E| = 18
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1918112238ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · घातांकी (Exponential)

यह उत्तर क्यों है

कॉल ट्री लगभग φⁿ (करीब 1.618ⁿ) की तरह बढ़ता है। मेमोइज़ेशन इसे O(n) तक घटा देता है।

उत्तर

A · घातांकी (Exponential)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(n log² n)

यह उत्तर क्यों है

स्तर k लगभग n log(n / 2ᵏ) कार्य करता है, और log n स्तरों पर योग Θ(n log² n) देता है, जो मास्टर प्रमेय की विस्तारित दूसरी स्थिति है।

उत्तर

B · Θ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 4 5 2 3 1

यह उत्तर क्यों है

पोस्टऑर्डर 2 से पहले 4 और 5, फिर 3, और अंत में रूट 1 को संसाधित करता है।

उत्तर

A · 4 5 2 3 1
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

पहला रोटेशन left-right स्थिति को left-left स्थिति में बदलता है, जिसे फिर असंतुलित नोड पर दायाँ रोटेशन ठीक करता है।

उत्तर

C · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

7 − 1 = 6

हटाई जाने वाली कोरें

k = 18 − 6 = 12

उत्तर

k = 12
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 24

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BC (1): लें
CE (2): लें
DE (3): लें
BE (8): छोड़ें, चक्र बनता है
BD (12): छोड़ें, चक्र बनता है
AC (18): लें

कुल भार

W = 1 + 2 + 3 + 18 = 24

उत्तर

W = 24

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