डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
  2. Bप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
  3. Cमिनिमम स्पैनिंग ट्री
  4. Dऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

अनिर्णेय (undecidable) समस्या और दुःसाध्य (intractable) समस्या में क्या अंतर है?

  1. Aअनिर्णेय समस्याएँ NP में हैं, जबकि दुःसाध्य समस्याएँ P में हैं
  2. Bदुःसाध्य समस्याएँ किसी भी एल्गोरिदम से हल नहीं हो सकतीं, जबकि अनिर्णेय समस्याओं को केवल घातांकी समय चाहिए
  3. Cदोनों का अर्थ है कि समस्या का कोई एल्गोरिदम ही नहीं है
  4. Dअनिर्णेय समस्या के लिए सभी इनपुट पर कोई एल्गोरिदम नहीं होता; दुःसाध्य के लिए होता है, पर बहुत धीमा
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

इंडेक्स 0 से शुरू होने वाले ऐरे में संग्रहीत बाइनरी हीप में इंडेक्स i वाले नोड का पैरेंट कहाँ है?

  1. Aइंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
  2. Bइंडेक्स 2i + 1 पर
  3. Cइंडेक्स ⌊i / 2⌋ + 1 पर
  4. Dइंडेक्स i − 1 पर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

स्प्ले ट्री हर पहुँच के बाद क्या करता है?

  1. Aखोज पथ के नोडों का रंग बदलता है
  2. Bपहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
  3. Cपहुँचे गए नोड को एक लीफ़ पर ले जाता है
  4. Dपूरे ट्री को संतुलित रूप में फिर से बनाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
147610132015ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

B · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · अनिर्णेय समस्या के लिए सभी इनपुट पर कोई एल्गोरिदम नहीं होता; दुःसाध्य के लिए होता है, पर बहुत धीमा

यह उत्तर क्यों है

हॉल्टिंग समस्या का कोई एल्गोरिदम ही नहीं है; TSP जैसी NP-hard समस्या ब्रूट फ़ोर्स से हल हो सकती है, बस ज्ञात बहुपदी समय में नहीं।

उत्तर

D · अनिर्णेय समस्या के लिए सभी इनपुट पर कोई एल्गोरिदम नहीं होता; दुःसाध्य के लिए होता है, पर बहुत धीमा
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर

यह उत्तर क्यों है

i के चाइल्ड 2i + 1 और 2i + 2 पर हैं, इसलिए i का पैरेंट ⌊(i − 1) / 2⌋ है; 1-आधारित इंडेक्सिंग में यह ⌊i / 2⌋ है।

उत्तर

A · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है

यह उत्तर क्यों है

स्प्लेइंग रोटेशनों से पहुँचे गए नोड को रूट पर ले जाती है; एक ऑपरेशन में O(n) लग सकता है, पर एमॉर्टाइज़्ड लागत O(log n) है।

उत्तर

B · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

विषम शीर्ष

A, D, F, G → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 31

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DE (1): लें
DF (3): लें
BD (6): लें
BC (7): लें
CE (10): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (14): लें

कुल भार

W = 1 + 3 + 6 + 7 + 14 = 31

उत्तर

W = 31

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